Question

Cho pt: x² - 2mx + m - 2 = 0(1)

a) Chứng tỏ (1) luôn có nghiệm phân biệt Vm.

b) Định m để 2 nghiệm x_1, x₂ của pt (1) thỏa mãn:

( 1 + x₁ ) (2 - x₂ ) + (1 + x₂ ) (2 - x₁ )= x₁² + x₂² +2

Answer 1

a) Ta có :

Δ = 4m² - 4 ( m - 2 )

=4m² - 4m + 8 = ( 2m - 1 )² + 7 > 0

⇒ (1) luôn có nghiệm phân biệt ∀ m

b) AD hệ thức Vi - ét , ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

( 1 + x₁ ) ( 2 - x₂ ) + ( 1 + x₂ ) ( 2 - x₁ ) = x₁² + x₂² + 2

⇔ 2 - x₂ + 2x₁ - x₁x₂ + 2 - x₁ + 2x₂ - x₁x₂ = x₁² + x₂² + 2

⇔ x₁ + x₂ - 2x₁x₂ + 4 = ( x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ + 2

⇔ ( x₁ + x₂ ) - ( x₁ + x₂ )² + 2 = 0

⇔ 2m - 4m² + 2 = 0 ⇔ 4m² - 2m - 2 = 0

⇔ ( m - 1 ) ( 4m + 2 ) = 0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1=0\\4m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy . . . . . . . . .