Question

Cho PT :\(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2-8=0\) .Xác định m để phương trình 2 nghiệm x₁ và x₂ thõa mãn :
a) \(A=x_1+x_2-3x_1\cdot x_2\)đạt giá trị lớn nhất

b)\(B=x_1^2+x_2^2-2\) đạt giá trị nhỏ nhất

c) Tìm hệ thức liên hệ x₁ và x₂

Answer 1

\(\text{Δ}=\left(2m+8\right)^2-4\left(m^2-8\right)\)

\(=4m^2+32m+64-4m^2+64=32m+128\)

Để phương trình có hai nghiệm thì 32m+128>=0

hay m>=-4

a: \(A=x_1+x_2-3x_1x_2\)

\(=\left(2m+8\right)-3\left(m^2-8\right)\)

\(=2m+8-3m^2+24\)

\(=-3m^2+2m+32\)

\(=-3\left(m^2-\dfrac{2}{3}m-\dfrac{32}{3}\right)\)

\(=-3\left(m^2-2\cdot m\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{97}{9}\right)\)

\(=-3\left(m-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{97}{3}< =\dfrac{97}{3}\)

Dấu '=' xảy ra khi m=1/3

b: \(B=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\)

\(=\left(2m+8\right)^2-2\left(m^2-8\right)-2\)

\(=4m^2+32m+64-2m^2+16-2\)

\(=2m^2+32m+78\)

\(=2\left(m^2+16m+39\right)\)

\(=2\left(m^2+16m+64-25\right)\)

\(=2\left(m+8\right)^2-50>=-50\)

Dấu '=' xảy ra khi m=-8