Giả sử x là nghiệm chung của P(x) và Q(x)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(x\right)=0\\Q\left(x\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^4+ax^2+1=0\\x^3+ax+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^4+ax^2+1=x^3+ax+1\)
\(\Rightarrow x^4+ax^2+1-x^3-ax-1=0\)
\(\Rightarrow\left(x^4-x^3\right)+\left(ax^2-ax\right)+\left(1-1\right)=0\)
\(\Rightarrow x^3\left(x-1\right)+ax\left(x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+ax\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x^3+ax=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^3+ax=0\end{matrix}\right.\)
Vì x = 1 là nghiệm chung nên thay x = 1 vào P(x) ta có:
P(1) = 14 + a.12 + 1 = 1 + a.1 + 1 = a + 2 = 0 \(\Rightarrow a=-2\)
Vậy a = -2 để hai phương trình có nghiệm chung
