Question

Cho phương trình:\(x^2+2mx+1\) . Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) sao cho A=\(x^2_1\left(x_1^2-2012\right)+x_2^2\left(x_2^2-2012\right)\)đạt GTNN, hãy tìm GTNN đó

Answer 1

\(\Delta'=m^2-1>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^4+x_2^4-2012\left(x_1^2+x_2^2\right)\)

\(A=\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2\left(x_1x_2\right)^2-2012\left(x_1^2+x_2^2\right)\)

\(A=\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2012\left(x_1^2+x_2^2\right)+1006^2-1006^2-2\)

\(A=\left(x_1^2+x_2^2-1006\right)^2-1006^2-2\ge-1006^2-2\)

\(\Rightarrow A_{min}=-1006^2-2\) khi \(x_1^2+x_2^2-1006=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-1006=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-1008=0\)

\(\Leftrightarrow m^2=252\Rightarrow m=\pm6\sqrt{7}\)