Cho phương trình \(x^4-px^3+qx^2-rx+s=0\) có 4 nghiệm lần lượt là: \(x_1=tanA\) ; \(x_2=tanB\) ; \(x_3=tanC\) và \(x_4\) với A, B, C là bao góc của một tam giác. Tính \(x_4\) theo p, q, r, s ?
A. \(x_4=\frac{q-s}{1-p+r}\)
B. \(x_4=\frac{p-s}{1-q+r}\)
C. \(x_4=\frac{q-r}{1-p+s}\)
D. \(x_4=\frac{p-r}{1-q+s}\)
Áp dụng Viet với lưu ý \(tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\) ta có:
\(x_4+tanA+tanB+tanC=p\) (1)
\(x_4\left(tanA+tanB+tanC\right)+tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=q\) (2)
\(x_4\left(tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\right)+tanA.tanB.tanC=r\)(3)
\(x_4.tanA.tanB.tanC=s\) (4)
\(\left(1\right)\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC=p-x_4\)
\(\left(4\right)\Rightarrow x_4\left(p-x_4\right)=s\)
Thế vào (2):
\(x_4\left(p-x_4\right)+tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=q\)
\(\Rightarrow tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=q-x_4\left(p-x_4\right)=q-s\)
Thế vào (3):
\(x_4\left(q-s\right)+p-x_4=r\)
\(\Rightarrow p-r=x_4\left(1-q+s\right)\Rightarrow x_4=\frac{p-r}{1-q+s}\)
