Lời giải:
Ta thấy:
\(\Delta=(2m+5)^2-4(2m+1)=4m^2+12m+21=(2m+3)^2+12>0, \forall m\in\mathbb{R}\)
Do đó PT luôn có 2 nghiệm $x_1,x_2$ với mọi $m$
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m+5\\ x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)
Để $\sqrt{x_1},\sqrt{x_2}$ có nghĩa thì $x_1,x_2\geq 0$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m+5\geq 0\\ x_1x_2=2m+1\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\geq \frac{-1}{2}\)
\(P=|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=\sqrt{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2}=\sqrt{x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}}\)
\(=\sqrt{2m+5-2\sqrt{2m+1}}\)
Vì \(2m+5-2\sqrt{2m+1}=(2m+1)+1-2\sqrt{2m+1}+3=(\sqrt{2m+1}-1)^2+3\geq 3\) với mọi $m\geq \frac{-1}{2}$
Do đó: \(P=\sqrt{2m+5-2\sqrt{2m+1}}\geq \sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{2m+1}-1=0\Leftrightarrow m=0\) (t.m)
Vậy để $P$ đạt min ($\sqrt{3}$) thì $m=0$
