Question

Cho phương trình: \(x^2-2mx-2m^2=0\)

a, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm
b, Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Chứng minh khí đó 2 nghiệm của phương trình trái dấu.
c, Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁ ; x₂ thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|=2\sqrt{6}\)

Answer 1

\(\Delta'=m^2+2m^2=3m^2\ge0;\forall m\)

Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm

Để pt có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow3m^2>0\Rightarrow m\ne0\)

Khi đó ta có: \(x_1x_2=-2m^2< 0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm trái dấu

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-2m^2\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=2\sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=24\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=24\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m^2=24\)

\(\Leftrightarrow m^2=2\Rightarrow m=\pm\sqrt{2}\)