\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\mx^2+\left(m+3\right)x-m-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
- Với \(m=0\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm \(x=1>0\)
- Với \(m\ne0\Rightarrow\Delta=\left(m+3\right)^2+4m\left(m+3\right)=5m^2+18m+9\)
a/ Để pt có 2 nghiệm âm pb, trước hết \(m\ne0\), ta có các TH sau:
- TH1: \(\left(1\right)\) có 2 nghiệm trái dấu, và ko có nghiệm bằng -2
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\left(-m-3\right)< 0\\4m-2\left(m+3\right)-m-3\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< -3\\m>0\end{matrix}\right.\\m\ne9\end{matrix}\right.\)
TH2: (1) có 2 nghiệm pb đều âm, và 1 nghiệm trong đó bằng -2
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=5m^2+18m+9>0\\x_1+x_2=\frac{-m-3}{m}< 0\\x_1x_2=\frac{-m-3}{m}>0\\m=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< -3\\m>0\end{matrix}\right.\\m\ne9\end{matrix}\right.\)
b/ Để pt có 2 nghiệm đều không dương
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\x_1+x_2=\frac{-m-3}{m}< 0\\x_1x_2=\frac{-m-3}{m}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
Vậy để pt có ít nhất 1 nghiệm dương thì \(\Delta\ge0\)
\(\Rightarrow5m^2+18m+9\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-3\\m\ge-\frac{3}{5}\end{matrix}\right.\)
