Đặt \(x^2=t(t\geq 0)\) thì pt trở thành:
\((m-1)t^2-2mt+m-2=0(*)\)
a) Để pt ban đầu có một nghiệm duy nhất thì $(*)$ phải:
TH1: Có nghiệm kép $t_1=t_2=0$
Để $0$ là nghiệm của $(*)$ thì:
\((m-1).0^2-2m.0+m-2=0\Rightarrow m=2\)
Thay $m=2$ vào $(*)$suy ra \(t^2-4t=0\), tức là $(*)$ còn có thêm nghiệm $t=4$ (vô lý)
TH2: Có một nghiệm $t_1=0$ và nghiệm còn lại âm.
Tương tự như TH1, khi $t=0$ là nghiệm thì $m=2$, khi đó ta có thêm nghiệm $t=4$ không âm (vô lý)
Do đó không tồn tại $m$ để pt có đúng một nghiệm.
b)
Để pt ban đầu có nghiệm thì PT $(*)$ phải có ít nhất một nghiệm không âm.
Nếu $m=1$ thì \(-2t-1=0\Rightarrow t=\frac{-1}{2}< 0\) (loại)
Nếu $m\neq 1$ thì $(*)$ là pt bậc hai một ẩn $t$
Trước tiên , để $(*)$ có nghiệm thì:
\(\Delta_*'=m^2-(m-1)(m-2)\geq 0\Leftrightarrow m\geq \frac{2}{3}\)
Áp dụng đl Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=\frac{2m}{m-1}\\ t_1t_2=\frac{m-2}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Để $(*)$ có ít nhất một nghiệm không âm thì :
TH1: $(*)$ có một nghiệm không âm, một nghiệm âm
\(\Rightarrow t_1t_2=\frac{m-2}{m-1}\leq 0\Rightarrow 1< m\leq 2\)
TH2: $(*)$ có 2 nghiệm không âm:
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t_1+t_2=\frac{2m}{m-1}\geq 0\\ t_1t_2=\frac{m-2}{m-1}\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} m\geq 2\\ m\leq 0\end{matrix}\right.\). Kết hợp với ĐK \(m\geq \frac{2}{3}\Rightarrow m\geq 2\)
Vậy để pt có nghiệm thì \(m\geq 2\) hoặc \(1< m\leq 2\)
