Question

Cho phương trình \(2x^3+3\left(m-3\right)x-6m+2=0\)

a) Tìm m để phương tình có hai nghiệm

2. Gọi \(x_1,x_2,x_3\) là ba nghiệm phân biệt của phương tình đã cho. Tìm m biết \(x^2_1+x^2_1+x^2_1=2x_1x_2x_3-3\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)-4\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow\left(2x^3-9x+2\right)+3m\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2x^2+4x-1\right)+3m\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2x^2+4x+3m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\2x^2+4x+3m-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt đã cho có 2 nghiệm khi:

TH1: (1) có nghiệm kép khác 2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-2\left(3m-1\right)=0\\-\frac{b}{2a}=-1\ne2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\)

TH2: (1) có 2 nghiệm pb trong đó 1 nghiệm bằng 2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-2\left(3m-1\right)>0\\2.2^2+4.2+3m-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-5\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-5\end{matrix}\right.\)

Ủa câu b sao vế trái lắm \(x_1\) vậy?

Answer 2

b.

Để pt đã cho có 3 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm pb khác 2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=6-6m>0\\m\ne-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m\ne-5\end{matrix}\right.\)

Do vai trò của \(x_1;x_2;x_3\) hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=\frac{3m-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=2x_1x_2x_3-3\left[x_1x_2+x_3\left(x_1+x_2\right)\right]-4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+4=4x_1x_2-3\left(x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)\right)-4\)

\(\Leftrightarrow4-2\left(\frac{3m-1}{2}\right)+4=4\left(\frac{3m-1}{2}\right)-3\left(\frac{3m-1}{2}-4\right)-4\)

\(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)