Question

Cho phương trình \(2x^2+2\left(m-1\right)x+m^2-1=0\). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn biểu thức \(A=\left(x_1-x_2\right)^2\) đạt giá trị lớn nhất?

Answer 1

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m^2-1\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m^2+8\)

\(=-4m^2-8m+12\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m^2-8m+12>0

=>4m^2+8m-12<0

=>m^2+2m-3<0

=>(m+3)(m-1)<0

=>-3<m<1

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=\left(\dfrac{2m-2}{2}\right)^2-4\cdot\dfrac{m^2-1}{2}\)

\(=\left(m-1\right)^2-2\left(m^2-1\right)\)

\(=m^2-2m+1-2m^2+2=-m^2-2m+3\)

\(=-\left(m^2+2m-3\right)\)

\(=-\left(m^2+2m+1-4\right)\)

\(=-\left(m+1\right)^2+4< =4\)

Dấu = xảy ra khi m=-1