1. Chứng minh: \(\left(\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-1\right)\left(\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}+1\right)=a-1\)
2. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), đường kính BC=6cm. Kẻ AH⊥BC (H∈BC). Biết HC=2HC.
a) Tính AB, AC ?
b) Vẽ điểm D đối xứng với B qua A. CD cắt (O) tại E. Gọi I là giao điểm của BE và AC. Chứng minh: DI // AH.
c) Tiếp tuyến với (O) tại B cắt AC tại G. Chứng minh: DG là tiếp tuyến của đường tròn (C) bán kính 6cm.
3. Vẽ đồ thị hàm số:
a) Vẽ đồ thị hàm số y=2x (d1) & y=-2x+4 (d2).
b) Xác định tọa độ giao điểm I của (d1) & (d2).
4. Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') tiếp xúc ngoài nhau tại A, (R>R'), đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tại B và C. Qua trung điểm M của BC vẽ dây DE⊥BC.
a) Chứng minh: BECD là hình thoi.
b) Đoạn DC cắt (O') tại F. Chứng minh: A, E, F thẳng hàng.
c) Chứng minh: MF là tiếp tuyến của đường tròn.
5. Rút gọn:
a) \(5\sqrt{\dfrac{1}{5}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\)
b) \(\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}\)
c) \(A=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\right)\)
d) \(B=\dfrac{\sqrt{x^2}+\sqrt{9x^2}+\sqrt{45x^2}}{\sqrt{x}-\sqrt{16x}-\sqrt{25x}-\sqrt{180x}}\left(x>0\right)\)
6. Cho hàm số \(y=-\dfrac{x}{2}\) (d1) và hàm số \(y=2x-5\) (d2).
a) Xác định tọa độ giao điểm của (d1) & (d2). Vẽ (d1) & (d2) trên cùng mp tọa độ.
b) Cho đường thẳng (d3): y=ax+b. Xác định a và b để (d3) // (d1) và cắt (d2) tại điểm trên trục tung.
7. Từ A ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB & AC với (O).
a) Chứng minh: OA là đường trung trực của BC.
b) OA cắt BC tại H. Chứng minh: HO.HA=HB.HC .
c) Đoạn OA cắt đường thẳng (O) tại I. Chứng minh: AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (I) bán kính IH.
8.Cho \(A\left(1;-2\right),B\left(-2;7\right),C\left(\dfrac{-1}{3\sqrt{2}+3};\sqrt{2}\right)\)
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Chứng minh: ba điểm A, B, C thẳng hàng.
9. Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, dây CD⊥AB tại trung điểm H của OB.
a) Chứng minh: OCBD là hình thoi.
b) Tính CD theo R.
c) Chứng minh: ΔACD đều.
d) Gọi E là điểm đối xứng của A qua H. Chứng minh: EC & ED là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
10. Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức:
\(M=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)\left(\dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2\)
11. Trong mp tọa độ Oxy, cho 4 điểm: \(A\left(-2;0\right),B\left(0;1\right),C\left(1;0\right),D\left(0;-2\right)\)
a) Chứng minh: A và B thuộc đường thẳng d1: \(y=\dfrac{1}{2}x+1\)
b) Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua C và D.
c) Vẽ d1 và d2, xác định tọa độ giao điểm I của chúng.
12. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và M∈(O). Vẽ MH⊥AB, đường tròn đường kính MH cắt (O) tại N và cắt MA, MB tại E và F.
a) MEHF là hình gì?
b) Chứng minh: EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔAEH.
c) MN cắt AB tại S. Chứng minh: MN.MS=ME.MA .
