Question

Cho P=(a+b)(b+c)(a+c)+abc

Nếu a,b,c thuộc Z và a+b+c chia hết cho 6

Chứng minh P-3abc chia hết cho 6

Answer 1

P - 3abc = (a+b)(b+c)(a+c)+abc - 3abc

= (a+b+c-c)(b+c)(a+c) - 2abc

= (a+b+c)(b+c)(a+c) - c(b+c)(a+c) - 2abc

= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c(ab + bc +ac +c²) - 2abc

= (a+b+c)(b+c)(a+c) - c( ab +bc + ac +c²+ 2ab)

= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c[(bc+c²+ac) + 3ab]

= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c[c(b+c+a) + 3ab]

= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c²(a+b+c) - 3abc

Ta có: a + b + c chia hết cho 6

⇒mà 6 ⋮ 2

⇒ a+b+c chia hết cho 2

⇒ a+b+c là số chẵn

⇒ trong 3 số a, b, c phải có ít nhất một số chẳn
⇒ abc ⋮ 2

⇒ 3abc ⋮ 6

mà a+b+c chia hết cho 6

⇒ (a+b+c)(b+c)(c+a) chia hết cho 6

c²(a+b+c) chia hết cho 6

⇒ (a+b+c)(b+c)(c+a) - c²(a+b+c) - 3abc chia hết cho 6

Vậy P - 3abc chia hết cho 6.