Question

Cho p nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 , 8p - 1 là nguyên tố. Hỏi số thứ ba là nguyên tố hay hợp số.

Answer 1

Lời giải:

Xét \(p=3\Rightarrow 8p-1\in\mathbb{P}\), số còn lại là \(8p+1=25\) là hợp số

Xét \(p\neq 3\Rightarrow p\not\vdots 3\). Khi đó $p$ có thể có dạng $3k+1,3k+2$

Nếu \(p=3k+1\Rightarrow 8p+1=8(3k+1)+1=24k+9\vdots 3\)

Và \(8p+1>3\Rightarrow 8p+1\) là hợp số

Nếu \(p=3k+2\Rightarrow 8p-1=8(3k+2)-1=24k+15\vdots 3\)

Và \(8p-1>3\Rightarrow 8p-1\) là hợp số

Như vậy, trong hai số \(8p-1;8p+1\) luôn tồn tại một số là hợp số. Do đó, nếu đã có hai số là số nguyên tố thì số thứ 3 luôn là hợp số.

Answer 2

Xét : \(p=3\Rightarrow 8p-1\in\mathbb{P}\)số còn lại là : \(8p+1=25\) là hợp số

Xét \(p\neq 3\Rightarrow p\not\vdots 3\). Khi đó \(p\) có thể có dạng \(3k+1,3k+2\)

Nếu \(p=3k+1\Rightarrow 8p+1=8(3k+1)+1=24k+9\vdots 3\)

Và \(8p+1>3\Rightarrow 8p+1\)là hợp số

Nếu \(p=3k+2\Rightarrow 8p-1=8(3k+2)-1=24k+15\vdots 3\)

Và \(8p-1>3\Rightarrow 8p-1\)là hợp số

Như vậy, trong hai số luôn tồn tại một số là hợp số. Do đó, nếu đã có hai số là số nguyên tố thì số thứ 3 luôn là hợp số.

Answer 3

Xét $p=3\Rightarrow 8p-1\in \mathbb{P}$, số còn lại là $8p+1=25$ là hợp số

Xét $p\ne 3\Rightarrow p/⋮3$. Khi đó $p$ có thể có dạng $3k+1,3k+2$

Nếu $p=3k+1\Rightarrow 8p+1=8(3k+1)+1=24k+9⋮3$

Và $8p+1>3\Rightarrow 8p+1$ là hợp số

Nếu $p=3k+2\Rightarrow 8p-1=8(3k+2)-1=24k+15⋮3$

Và $8p-1>3\Rightarrow 8p-1$ là hợp số

Như vậy, trong hai số $8p-1;8p+1$ luôn tồn tại một số là hợp số. Do đó, nếu đã có hai số là số nguyên tố thì số thứ 3 luôn là hợp số.