Question

Cho p > 3 . Chứng minh rằng nếu các số p , p + d , p + 2d là số nguyên tố thì d chia hết cho 6.

Answer 1

Vì \(p>3\) nên p không chia hết cho 3 khi đó p có dạng

\(3k+1\) hoặc \(3k+2\) \(k\in N\)

\(\cdot\)) Nếu \(p=3k+1\)

Nếu d chia 3 dư 1 thì \(p+2d⋮3\left(loai\right)\)

Vì p+2d là số nguyên tố nên loại

Vậy \(p=3k+1\) thì \(d⋮3\)

Tương tự với \(p=3k+2\) thì \(d⋮3\)

Vậy \(p>3\) và \(p;p+d;p+2d\) là các số nguyên tố thì \(p⋮3\left(1\right)\)

p lẻ p+d nguyên tố thì p+d lẻ nên d chẵn do đó \(d⋮2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có \(d⋮6\)