Cho (O;R) , M nằm ngoài (O;R). từ M vẽ tiếp tuyến MA,MB ( A,B là hai tiếp điểm). lấy C bất kì trên cung nhỏ AB ( C khác A,B ). gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên AB, AM, MB.
a. cm AECD nội tiếp ( ko cần )
b.cm \(\widehat{CDE}=\widehat{CBA}\)
c. gọi I là giao điểm AC và ED , K là giao điểm của CB và DF. Cm IK//AB
a) Xét tứ giác AECD có \(\widehat{CDE}+\widehat{CEA}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow\)tứ giác AECD nội tiếp
b) Xét đường tròn (O) có MA là tiếp tuyến\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{CBA}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(\stackrel\frown{AC}\)) (1)
Ta lại có tứ giác AECD nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{CDE}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{CE}\)) (2)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\widehat{CDE}=\widehat{CBA}\)
c)
Xét tứ giác BFCD có\(\widehat{BFC}+\widehat{BDC}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow\) tứ giác BFCD nội tiếp\(\Rightarrow\) \(\widehat{DBF}+\widehat{DCF}=180^0\)
Ta lại có tứ giác AECD nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{DCE}+\widehat{DAE}=180^0\)
Mà \(\widehat{DBF}=\widehat{DAE}\)
Suy ra \(\widehat{DCE}=\widehat{DCF}\Rightarrow\widehat{DCA}+\widehat{ECA}=\widehat{BCD}+\widehat{BCF}\Rightarrow\widehat{DCA}+\widehat{EDA}=\widehat{BCD}+\widehat{BCF}\Rightarrow\left(90^0-\widehat{DBC}\right)+\widehat{EDA}=\left(90^0-\widehat{CDE}\right)+\widehat{BCF}\Rightarrow\widehat{EDA}=\widehat{BCF}\)
Xét tứ giác CKDI có\(\widehat{KCI}+\widehat{KDI}=\widehat{KCD}+\widehat{ICD}+\widehat{KDC}+\widehat{CDI}=\widehat{KCD}+\widehat{KCF}+\widehat{FBC}+\widehat{CBD}=\widehat{DBF}+\widehat{FCD}=180^0\)\(\Rightarrow\)tứ giác CKDI nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{CDI}=\widehat{CKI}\)
Mà \(\widehat{CDI}=\widehat{CBD}\)
Suy ra \(\widehat{CKI}=\widehat{CBD}\Rightarrow\)IK//AB
