Question

cho (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H(Hnằm giữa O và B) trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn(O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A,2 dây MN và BK cắt nhau ở E

chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp và ΔCAE đồng dạng ΔCHK(đã chứng minh)

qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F.chứng minh ΔNFK cân

giả sử KE=KC chứng minh OK//MN và KM² + KN² = 4R²

help me

hộ 2 câu cuối với

Answer 1

d)

Từ KE=KC thì ta có được △KEC vuông cân tại K ⇒ \(\widehat{C_1}\)=45° (đ/n)

Vì K và H cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông nên BCKH nội tiếp (bài toán cung chứa góc) ⇒ \(\widehat{B_1}\)=\(\widehat{C_1}\)=45° (nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{KH}\))

Xét △OBK có: OB=OK (cùng là bán kính) ⇒ △OBK cân tại O (đ/n)

⇒ \(\widehat{BOK}\)=180°-2*\(\widehat{B_1}\)=180°-2*45°=180°-90°=90° (t/c) ⇒ OK ⊥ OB (đ/n), mà MN ⊥ OB (gt) ⇒ OK // MN (từ vuông góc đến song song) (đpcm)

Ta kẻ thêm đường kính KOP của đường tròn (O), thì ta có KP // MN và KP=2R

Xét (O) có: KP và MN là 2 dây song song với nhau chắn 2 cung \(\stackrel\frown{KN}\) và \(\stackrel\frown{PM}\) ⇒ \(\stackrel\frown{KN}\)=\(\stackrel\frown{PM}\) (t/c) ⇒ KN=PM (2 dây căng cung bằng nhau)

Ta có: \(\widehat{KMP}\)=90° (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ △KMP vuông tại M (đ/n) ⇒ KP²=KM²+PM² (đ/l Py-ta-go)

Từ đó suy ra KM²+KN²=(2R)²=4R² (đpcm)

Answer 2

c)

Ta có: \(\widehat{AKB}\)=90° (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ BK ⊥ AC (đ/n), mà NF ⊥ AC (gt) suy ra BK // NF (từ vuông góc đến song song)

⇒ \(\widehat{N_1}\)=\(\widehat{K_1}\) (2 góc so le trong) (1)

Vì KNBM nội tiếp (4 đỉnh cùng thuộc đường tròn (O)) nên \(\widehat{K_1}\)=\(\widehat{M_1}\) (nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{BN}\)) (2) và \(\widehat{NKM}\)+\(\widehat{NBM}\)=180° (tính chất 2 góc đối) (3)

Ta lại có: \(\widehat{NKM}\)+\(\widehat{NKF}\)=180° (2 góc kề bù) (4)

Từ (1) và (2) ⇒ \(\widehat{M_1}\)=\(\widehat{N_1}\) (*) ; từ (3) và (4) ⇒ \(\widehat{NBM}\)=\(\widehat{NKF}\)

Xét △MBN và △NKF có: \(\widehat{M_1}\)=\(\widehat{N_1}\) (cmt), \(\widehat{NBM}\)=\(\widehat{NKF}\) (cmt)

⇒ △MBN ~ △NKF (g.g) ⇒ \(\widehat{F_1}\)=\(\widehat{N_2}\) (2 góc tương ứng) (**)

Ta dễ dàng chứng minh được △BMN cân tại B ⇒ \(\widehat{M_1}\)=\(\widehat{N_2}\) (đ/n) (***)

Từ (*), (**) và (***) ⇒ \(\widehat{F_1}\)=\(\widehat{N_1}\) ⇒ △NFK cân tại K (đ/n) (đpcm)