Question

Cho \(\omega\in U_n\) là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị và z là số phức sao cho \(\left|z=\omega^k\right|\le1\), mọi k = 0,1,2,....,n-1. Chứng minh z=0

 

Answer 1

Từ giả thiết ta được :

\(\left(z-\omega^k\right)\left(\overline{z-\omega}^k\right)\le1\Rightarrow\left|z\right|^2\le z\overline{\omega^k}+\overline{z}\omega^k,k=0,1,.....,n-1\)

Lấy tổng các hệ thức trên,

\(n\left|z\right|^2\le z\left(\overline{\Sigma_{k=0}^{n-1}\omega^k}\right)+\overline{z}\Sigma_{k=0}^{n-1}\) \(\omega=0\)

Do đó z=0