a) Xét ΔACO có
CK là đường cao ứng với cạnh AO(CK⊥AO)
CK là đường trung tuyến ứng với cạnh AO(K là trung điểm của AO)
Do đó: ΔACO cân tại C(Định lí tam giác cân)
⇒CA=CO(1)
Xét ΔDAO có
DK là đường cao ứng với cạnh AO(DK⊥AO)
DK là đường trung tuyến ứng với cạnh AO(K là trung điểm của AO)
Do đó: ΔDAO cân tại D(Định lí tam giác cân)
⇒DA=DO(2)
mà OC=OD(=R)(3)
nên Từ (1), (2) và (3) suy ra CA=CO=DA=DO
hay CA=R
b) Ta có: AB là đường kính của (O;R)(gt)
nên A,B∈R
⇒OA=R
mà \(OK=\dfrac{OA}{2}\)(K là trung điểm của OA)
nên \(OK=\dfrac{R}{2}\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔCKO vuông tại K, ta được:
\(OC^2=OK^2+CK^2\)
\(\Leftrightarrow CK^2=OC^2-OK^2=R^2-\left(\dfrac{R}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}R^2\)
hay \(CK=\dfrac{R\cdot\sqrt{3}}{2}\)
Xét tứ giác ACOD có
CA=CO=OD=DA(cmt)
nên ACOD là hình thoi(Định nghĩa hình thoi)
⇔Hai đường chéo CD và AO vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình thoi)
mà K là trung điểm của AO(gt)
nên K là trung điểm của CD
hay \(CD=2\cdot CK=2\cdot\dfrac{3\sqrt{R}}{2}=3\sqrt{R}\)
