Cho (O) đường kính AB, C nằm trên đoạn OB sao cho OC < CB. Kẻ dây DE ⊥ với AC tại trung điểm H của AC, đường tròn đường kính BC cắt BD tại K
a) C/m : tứ giác DHCK nội tiếp đường tròn
b) C/m : tứ giác ADCE là hình thoi và C/m : 3 điểm E, C, K thẳng hàng
c) C/m : CK.AD = CB.CH
d) Đường thẳng qua K ⊥ DE cắt (O) tại 2 điểm M, N (M ϵ cung nhỏ AD). Kẻ đường kính MP, NP cắt AB tại I. C/m : EM2 + DN2 = AB2
Gọi I là tâm đường tròn đường kính CB
a) Xét (O) có: \(\widehat{ADB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow AD\perp DB\)
Xét (I) có: \(\widehat{CKB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow CK\perp KB\) hay \(CK\perp DB\)
Ta có: \(\widehat{DKC}+\widehat{CKB}\) \(=180^0\) (hai góc kề bù)
\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{DKC}\) \(=180^0-\) \(\widehat{CKB}\) \(=180^0-90^0=90^0\)
Vì \(\widehat{ADB}+\widehat{DKC}\) \(=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác DKCH nội tiếp đường tròn (theo dhnb tứ giác nội tiếp)
b) Vì H là trung điểm AC
\(\Rightarrow AH=HC\)
Xét (O) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=2R\\DE\perp AB=\left\{H\right\}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow DH=HE\) (liên hệ giữa đường kính và dây)
Xét tứ giác ADCE có: \(\left\{{}\begin{matrix}DH=HE\\AH=HC\\DE\cap AC=\left\{H\right\}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác ADCE là hình bình hành (theo dhnb hình bình hành)
(mà \(DE\perp AC=\left\{H\right\}\))
\(\Rightarrow\) Hình bình hành ADCE là hình thoi (theo dhnb hình thoi)
\(\Rightarrow\) AD//EC (1)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp DB\\CK\perp DB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) AD//CK (từ vuông góc đến song song) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) AD//EC//CK
\(\Rightarrow\) E,C,K thẳng hàng.
c) Vì \(DE\perp AC=\left\{H\right\}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DHA}\) \(=90^0\)
Vì AD//EC \(\Rightarrow\) \(\widehat{ACE}=\widehat{DAC}\) hay \(\widehat{DAH}=\widehat{HCE}\)
(mà \(\widehat{HCE}=\widehat{KCB}\) vì hai góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DAH}=\widehat{KCB}\)
Xét ΔADH∼ΔCBK vì:
\(\widehat{DHA}=\widehat{CKB}\) \(=90^0\)
\(\widehat{DAH}=\widehat{KCB}\) (cmtrn)
\(\Rightarrow\frac{AD}{CB}=\frac{AH}{CK}\Leftrightarrow AD\cdot CK=AH\cdot CB\) (mà \(AH=HC\))
\(\Leftrightarrow AD\cdot CK=HC\cdot CB\) (đpcm)
