Cho nửa đường tròntâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO ( C khác A và O ). đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là giao điểm bất kì trên cung KB. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng Bh cắt nửa đường tròn tại N
a) c/m tứ giác ACMD nội tiếp
b) C/m: CA.CB=CH.CD
c) c/m 3 điểm A,N,D thảng hàng và tiếp tuyến tại N thuộc nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH
a) xét (o) ta có AMB = 90 (góc nội tiếp chắng nữa đường tròn)
\(\Rightarrow\) AMD = 90 kề bù
ta có : DCA = 90 (KC \(\perp\) AB)
xét tứ giác ACMD ta có : DCA = 90 (chứng minh trên)
AMD = 90 (chứng minh trên)
mà 2 góc này kề nhau cùng chắng cung AD của tứ giác ACMD nội tiếp (đpcm)
2) xét \(\Delta\) CAH và \(\Delta\) CDB
ta có : DCB = HCA = 90 (KC\(\perp\) AB)
ta có : HAC = CDB (cùng phụ góc MBC)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) CAH đồng dạng \(\Delta\) CDB (g-g)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{CA}{CD}\) = \(\dfrac{CH}{CB}\) \(\Leftrightarrow\) \(CA.CB=CH.CD\) (ĐPCM)
xét \(\Delta\) DAB ta có :
DC \(\perp\) AB (giả thiết)
AM \(\perp\) BD (AMB = 90 (là góc nội tiếp chắng nữa đường tròn ))
mà AM cắt DC tại H
\(\Rightarrow\) H là trực tâm \(\Rightarrow\) BN \(\perp\) AD
mà BN \(\perp\) AN (BNA = 90 (góc nội tiếp chắng nữa đường tròn))
\(\Rightarrow\) AN \(\equiv\) AD \(\Leftrightarrow\) A ; N ; D thẳng hàng (đpcm)
đặc tiếp tuyến tại N của (o) cắc DH tai E
ta có : OB = ON = R \(\Rightarrow\) \(\Delta\) ONB cân tại O \(\Leftrightarrow\) OBN = ONB
ta có : EDN = OBN (cùng phụ góc NAC)
mà góc OBN = ONB (chứng minh trên) \(\Rightarrow\) EDN = ONB
đồng thời ONB = END (cùng phụ góc HNE)
\(\Rightarrow\) END = EDN \(\Leftrightarrow\) NED cân \(\Leftrightarrow\) NE = ED (1)
ta có : END + ENH = 90 (DNH = 90)
mà EDD + NHE = 90 (\(\Delta\) DNH \(\perp\) tại N)
\(\Rightarrow\) ENH = NHE \(\Leftrightarrow\) \(\Delta\) ENH cân tại E \(\Leftrightarrow\) EH = EN (2)
từ (1) và (2) ta có ED = EH (= EN)
\(\Rightarrow\) tiếp tuyến tại N của (o) cắt DH tại trung điểm của DH (đpcm)
