Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thy Mỹ An

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trug điểm của CH, J là trung điểm của DH.

a) Chứng minh: góc CIJ = góc CBH

b)Chứng minh: tam giác CJH đồng dạng với tam giác HIB

c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC\(^2\)

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất

Nguyễn Thành Trương
18 tháng 2 2019 lúc 17:49

Hỏi đáp Toán

a) Ta có: ^CBH=^ACH (Cùng phụ ^HCB) (1)

Xét \(\Delta\)CHD: I và J lần lượt là trung điểm của CH & DH => IJ là đường trung bình \(\Delta\)CHD

=> IJ // CD => IJ // AC => ^CIJ=^ACH (So le trg) (2)

Từ (1) và (2) => ^CIJ=^CBH (đpcm).

b) Thấy CJ là đường trung bình của tam giác ADH => \(\frac{CJ}{AH}=\frac{1}{2}\)

Mà \(\frac{HI}{CH}=\frac{1}{2}\)(Do I là trg điểm CH) => \(\frac{CJ}{AH}=\frac{HI}{CH}\Rightarrow\frac{CJ}{HI}=\frac{AH}{CH}\)

Dễ c/m \(\Delta\)AHC ~ \(\Delta\)CHB => \(\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{HB}\Rightarrow\frac{CJ}{HI}=\frac{CH}{HB}\)

Lại có: CJ//AB và CH vuông AB => CH vuông CJ => ^JCH=900

Xét \(\Delta\)CJH và \(\Delta\)HIB: ^JCH=^IHB; \(\frac{CJ}{CH}=\frac{CH}{HB}\)=> \(\Delta\)CJH~\(\Delta\)HIB (c.g.c) (đpcm).

c) Ta có: ^HIB + ^HBI = 900. Mà ^HBI=^CHJ (Do \(\Delta\)CJH~\(\Delta\)HIB) => ^HIB+^CHJ=900

=> Tam giác HEI vuông tại E => ^IEJ=900

Xét tứ giác CIEJ: ^IEJ=^ICJ=900 => Tứ giác CIEJ nội tiếp đường tròn

=> ^ECI=^EJI hay ^ECH=^HJI. Mà ^HJI=^HDC (Vì IJ//CD) => ^ECH=^HDC

Xét \(\Delta\)HEC và \(\Delta\)HCD: ^ECH=^CDH (cmt); ^CHD chung => \(\Delta\)HEC~\(\Delta\)HCD (g.g)

Suy ra: \(\frac{HE}{HC}=\frac{HC}{HD}\Rightarrow HE.HD=HC^2\)(đpcm).


Các câu hỏi tương tự
tthnew
Xem chi tiết
Nguyễn Thy Mỹ An
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Nguyễn Mai Thanh Ngân
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Võ Thùy Trang
Xem chi tiết
Trần Việt Khoa
Xem chi tiết