cho nửa đường tròn tâm o đường kính ab. gọi c là 1 điểm nằm trên nửa dường tròn (o) ( c khác a và b). gọi h là hình chiếu vuông góc của c trên ab, d là điểm đối xứng của a qua c, i là trung điểm ch, j là trung điểm của dh
a) CM góc CIJ = CBH
b) CM tam giác CJH đồng dạng tam giác HIB
c) gọi e là giao điểm của HD và bi. Cm he.hd=hc^2
d) xác định vị trí của c trên nửa đường tròn ở để ah+ch đạt GTLN
a) Ta có: ^CBH=^ACH (Cùng phụ ^HCB) (1)
Xét \(\Delta\)CHD: I và J lần lượt là trung điểm của CH & DH => IJ là đường trung bình \(\Delta\)CHD
=> IJ // CD => IJ // AC => ^CIJ=^ACH (So le trg) (2)
Từ (1) và (2) => ^CIJ=^CBH (đpcm).
b) Thấy CJ là đường trung bình của tam giác ADH => \(\frac{CJ}{AH}=\frac{1}{2}\)
Mà \(\frac{HI}{CH}=\frac{1}{2}\)(Do I là trg điểm CH) => \(\frac{CJ}{AH}=\frac{HI}{CH}\Rightarrow\frac{CJ}{HI}=\frac{AH}{CH}\)
Dễ c/m \(\Delta\)AHC ~ \(\Delta\)CHB => \(\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{HB}\Rightarrow\frac{CJ}{HI}=\frac{CH}{HB}\)
Lại có: CJ//AB và CH vuông AB => CH vuông CJ => ^JCH=900
Xét \(\Delta\)CJH và \(\Delta\)HIB: ^JCH=^IHB; \(\frac{CJ}{CH}=\frac{CH}{HB}\)=> \(\Delta\)CJH~\(\Delta\)HIB (c.g.c) (đpcm).
c) Ta có: ^HIB + ^HBI = 900. Mà ^HBI=^CHJ (Do \(\Delta\)CJH~\(\Delta\)HIB) => ^HIB+^CHJ=900
=> Tam giác HEI vuông tại E => ^IEJ=900
Xét tứ giác CIEJ: ^IEJ=^ICJ=900 => Tứ giác CIEJ nội tiếp đường tròn
=> ^ECI=^EJI hay ^ECH=^HJI. Mà ^HJI=^HDC (Vì IJ//CD) => ^ECH=^HDC
Xét \(\Delta\)HEC và \(\Delta\)HCD: ^ECH=^CDH (cmt); ^CHD chung => \(\Delta\)HEC~\(\Delta\)HCD (g.g)
Suy ra: \(\frac{HE}{HC}=\frac{HC}{HD}\Rightarrow HE.HD=HC^2\)(đpcm).
khác A). Đường thẳng qua I vuông góc với AB cắt (O) tại C và D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm S cố định. Đoạn CS cắt (O) tại M, gọi E là giao điểm của DM và AB.
