Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
EDOGAWA CONAN

Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB = 2R . Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của ( O ) tại B . Trên cung AB lấy điểm M tùy ý tia AM cắt d tại N . Gọi C là trung điểm của AM tia Co cắt d tại D .

a , CMR OBNC nội tiếp .

b , CMR NO vuông góc với AD .

c , CMR CA . CN = CO . CD

d , Xác định vị trí điểm M để (2AM +AN ) đạt GTNN .

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
28 tháng 4 2019 lúc 9:47

Câu a : Ta có : \(\Delta OMA\) cân tại O và \(AC=MC\) nên \(OC\perp AM\) hay \(\widehat{OCN}=90^0\) .

Xét tứ giác OBNC ta có :

\(\widehat{OCN}=90^0\) ( cmt )

\(\widehat{OBN}=90^0\) ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính )

\(\Rightarrow\widehat{OCN}+\widehat{OBN}=180^0\) hay OBNC là tứ giác nội tiếp (đpcm )

Câu b : Xét tam giác AND ta có :

AB là đường cao xuất phát từ đỉnh A .

DC là đường cao xuất phát từ đỉnh D .

Mà hai đường cao này cắt nhau tại O cho nên O là trực tâm của \(\Delta AND\)

NO cắt AD suy ra NO là đường cao của tam giác AND \(\Rightarrow NO\perp AD\)

Câu c : Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CAO}+\widehat{ANB}=90^0\\\widehat{CDN}+\widehat{ANB}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{CAO}=\widehat{CDN}\)

Xét tam giác CAO và tam giác CDN ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACO}=\widehat{DCN}\left(=90^0\right)\\\widehat{CAO}=\widehat{CDB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CAO\sim\Delta CDN\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{CA}{CD}=\frac{CO}{CN}\Rightarrow CA.CN=CO.CD\) ( đpcm )

Câu d : Xét tam giác AMB và tam giác ABN ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAM}:chung\\\widehat{AMB}=\widehat{ABN}\left(=90^0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMB\sim\Delta ABN\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{AB}{AN}\Rightarrow AM.AN=AB^2=4R^2\)

Áp dụng BĐT Cô - si ta có : \(2AM+AN\ge2\sqrt{2AM.AN}=2\sqrt{8R^2}=4R\sqrt{2}\)

Vậy GTNN của 2AM + AN là \(4R\sqrt{2}\) khi và chỉ khi M là trung điểm của AN


Các câu hỏi tương tự
Không Biết Chán
Xem chi tiết
hello hello
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Thiên Thương Lãnh Chu
Xem chi tiết
EDOGAWA CONAN
Xem chi tiết
Jung Yu Mi
Xem chi tiết
Tấn Đạt
Xem chi tiết
Thúy Ngân Nguyễn Thị
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết