Question

Cho một tam giácABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB.

Cmr : Các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳngđồng qui khi và chỉ khi \(\frac{FA}{FB}.\frac{DC}{DB}.\frac{EC}{EA}\)

Answer 1

Đây là định lý CEVA mà, thầy chứng minh chiều thuận nhé.

Gọi O là giao điểm của 3 đường.

Ta có: \(\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{S_{FCA}}{S_{FCB}}=\dfrac{S_{FOA}}{S_{FOB}}=\dfrac{S_{FCA}-S_{FOA}}{S_{FCB}-S_{FOB}}\)

\(\Rightarrow \dfrac{FA}{FB}=\dfrac{S_{OCA}}{S_{OCB}}\)(1)

Tương tự ta có:

\( \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{S_{OAB}}{S_{OAC}}\) (2)

\( \dfrac{EC}{EA}=\dfrac{S_{OBC}}{S_{OBA}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: \(\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)

(Biểu thức trên của em cần đổi lại như của thầy nhé)

Answer 2

@phynit @phynit

Mới mấy ngày thôi nha thầy :)) Chưa đến cả tỉ năm tiếp âu :))