Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+2y+3z=3\end{matrix}\right.\) Tìm MaxP biết: \(P=\dfrac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2}+\dfrac{297z^3-8y^3}{6yz+36z^2}+\dfrac{11x^3-27z^3}{3xz+4x^2}\) Đặt 2y=a, 3z=b \(...

Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+2y+3z=3\end{matrix}\right.\) Tìm MaxP biết: \(P=\dfrac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2}+\...

Hãy tham gia nhóm Học sinh Hoc24OLM

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

25 tháng 6 2018 lúc 10:12

KẾT QUẢ CUỘC THI TOÁN DO DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG TỔ CHỨC . Giải nhất : Ngô Tấn Đạt . Phần thưởng : Thẻ cào 100k + 30GP Giải nhì : Hoàng Thảo Linh và Diệp Băng Dao . Phần thưởng : Thẻ cào 50k + 20GP Giải ba : Truy kích và Luân Đào . Phần thưởng : 15GP Nhờ thầy @phynit trao giải cho những bạn trên ạ . Cảm ơn các bạn dã ủng hộ cuộc thi của mình . GOOD LUCK ! ĐÁP ÁN VÒNG 3 : CUỘC THI TOÁN DO DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG TỔ CHỨC Câu 1 : a ) ĐKXĐ : xge0 , xne25 , xne9 b ) Aleft(dfrac{x-5s...

Đọc tiếp

KẾT QUẢ CUỘC THI TOÁN DO DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG TỔ CHỨC .

Giải nhất : Ngô Tấn Đạt . Phần thưởng : Thẻ cào 100k + 30GP

Giải nhì : Hoàng Thảo Linh và Diệp Băng Dao . Phần thưởng : Thẻ cào 50k + 20GP

Giải ba : Truy kích và Luân Đào . Phần thưởng : 15GP

Nhờ thầy @phynit trao giải cho những bạn trên ạ . Cảm ơn các bạn dã ủng hộ cuộc thi của mình . GOOD LUCK !

ĐÁP ÁN VÒNG 3 : " CUỘC THI TOÁN DO DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG TỔ CHỨC "

Câu 1 :

a ) ĐKXĐ : \(x\ge0\) , \(x\ne25\) , \(x\ne9\)

b )

\(A=\left(\dfrac{x-5\sqrt{x}}{x-25}-1\right):\left(\dfrac{25-x}{x+2\sqrt{x}-15}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}+\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-3}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}-1\right):\left(\dfrac{25-x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}-1\right):\left(\dfrac{25-x-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\right)\)

\(=\dfrac{-5}{\sqrt{x}+5}:\left(\dfrac{25-x-x+9+x-25}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\right)\)

\(=\dfrac{-5}{\sqrt{x}+5}:\dfrac{-x+9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\)

\(=\dfrac{-5}{\sqrt{x}+3}:\dfrac{-\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+5}\)

\(=\dfrac{-5}{\sqrt{x}+5}\times\dfrac{\sqrt{x}+5}{-\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}\)

c )

Để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì \(5\) phải chia hết cho \(\sqrt{x}+3\)

Ta có : \(Ư\left(5\right)=\left(-5;-1;1;5\right)\) . Mà \(\sqrt{x}+3\ge3\) .

\(\Rightarrow\sqrt{x}+3=5\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4\left(N\right)\)

Vậy \(x=4\) thì biểu thức A nhận giá trị nguyên .

d )

Ta có :

\(B=\dfrac{A\left(x+16\right)}{5}=\dfrac{5\left(x+16\right)}{\dfrac{\sqrt{x}+3}{5}}=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{x-9+25}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)+25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}-6\)

Theo BĐT Cô - Si cho hai số không âm ta có :

\(\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\ge2\sqrt{\sqrt{x}+3\times\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}}=2\sqrt{25}=10\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}-6\ge10-6=4\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(\sqrt{x}+3=\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow\sqrt{x}+3=5\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)

Vậy GTNN của \(B\) là 4 khi \(x=4\)

Câu 2 :

a ) \(\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+4x+1\right)=6x^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+4x^3+x^2-x^3-4x^2-x+x^2+4x+1-6x^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+3x^3-8x^2+3x+1=0\)

Xét : 0 không phải là nghiệm của phương trình trên .

\(\Leftrightarrow x^2+3x-8+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+\left(3x+\dfrac{3}{x}\right)-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-10=0\)

Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\) . Phương trình trở thành :

\(t^2+3t-10=0\)

\(\Delta=9+40=49>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2}=2\\t_2=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2}=-5\end{matrix}\right.\)

Với \(t_1=2\) :

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Với \(t=-5\) :

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}=-5\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-5x}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+1=0\)

\(\Delta=25-4=21>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2}\\x_2=\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{1;\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2};\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}\right\}\)

b ) \(3x^2+2x=2\sqrt{x^2+x}+1-x\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+x\right)-2\sqrt{x^2+x}-1=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+x\right)-3\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2+x}-1=0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x^2+x}\left(\sqrt{x^2+x}-1\right)+\left(\sqrt{x^2+x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+x}-1\right)\left(3\sqrt{x^2+x}+1=0\right)\)

\(\) \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+x}-1\right)=0\) . Vì \(3\sqrt{x^2+x}+1>0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1=0\)

\(\Delta=1+4=5>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy ..............................

c )

\(\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}\) ( ĐK : \(x\ge-1\) )

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}-2x-\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3}-2x\right)\left(\sqrt{x+1}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=2x\\\sqrt{x}+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x+3=4x^2\end{matrix}\right.\\x+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy......................

d ) \(x^2+9x+20=2\sqrt{3x+10}\) ( ĐK : \(x\ge-\dfrac{10}{3}\) )

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6x+9\right)+\left(3x+10-2\sqrt{3x+10}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{3x+10}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\\sqrt{3x+10}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-3\)

Vậy...............................

Câu 3 :

a )

\(VT=\dfrac{\sqrt{\dfrac{abc+4}{a}-4\sqrt{\dfrac{bc}{a}}}}{\sqrt{abc}-2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{\dfrac{abc+4}{a}-\dfrac{4\sqrt{abc}}{a}}}{\sqrt{abc}-2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{\dfrac{abc+4-4\sqrt{abc}}{a}}}{\sqrt{abc}-2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{abc}-2\right)^2}{a}}}{\sqrt{abc}-2}\)

\(=\dfrac{\dfrac{\sqrt{abc}-2}{\sqrt{a}}}{\sqrt{abc}-2}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\left(đpcm\right)\)

b )

Nếu trong \(a+bc;b+ca;c+ab\) không có số nào lớn hơn 1 thì giá trị của mỗi số hạng củaVT ít nhất là \(\dfrac{1}{3}\)

Nếu trong \(a+bc;b+ca;c+ab\) có một số lớn hơn 1 khi đó : \(c=\dfrac{1-ab}{a+b}\)và \(a+b< 1\)

Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :

\(\dfrac{1}{2a+2bc+1}+\dfrac{1}{2b+2ca+1}\ge\dfrac{4}{2a+2b+2bc+2ca+2}=\dfrac{2}{a+b+2-ab}\)

Khi đó ta cần chứng minh :

\(\dfrac{2}{2+a+b-ab}+\dfrac{1}{2c+2ab+1}\ge1\)

Hay :\(\dfrac{2}{a+b-ab+2}+\dfrac{a+b}{a+b-2ab+2ab\left(a+b\right)+2}\ge1\)

Ta có :

\(VT=\dfrac{4+4\left(a+b\right)-4ab+3ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2}{\left(2+a+b-ab\right)\left(2+a+b-2ab+2ab\left(a+b\right)\right)}\)

Đặt \(S=a+b< 1;P=ab\) . Ta cần chứng minh :

\(\dfrac{4+4S-4P+3SP+S^2}{4S-6P+3SP+S^2+2S^2P-2P^2+2SP^2+4}\ge1\)

\(\Leftrightarrow2P\ge2S^2P-2P^2+2S^2P\)

\(\Leftrightarrow2P\left(1-S\right)\left(P+S+1\right)\ge0\) ( Đúng vì \(S< 1\) )

Dấu \("="\) xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoàn vị .

Câu 4 :

a )

Tứ giác ADHE có : \(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0\)

\(\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật .

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{HAE}\)

Ta lại có : \(\widehat{HAE}=\widehat{ABC}\) ( Cùng phụ với góc C )

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ABC\) ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}:Chung\\\widehat{AED}=\widehat{ABC}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AED\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\)

b )

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}S_{ADE}=\dfrac{1}{2}S_{ADHE}\\S_{ABC}=2S_{ADHE}\end{matrix}\right.\Rightarrow S_{ADE}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{4}\)

Mặt khác : \(\Delta ADE\sim\Delta ABC\) ( Câu a )

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BC\)

Gọi M là trung điểm của BC .

\(\Delta ABC\) vuông tại A . \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow DE=AM\)

Mà \(AH=DE\) ( Do ADHE là hình chữ nhật )

\(\Rightarrow AM=AH\) ( Đường trung tuyến cũng là đường cao )

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A ( đpcm )

Câu 5 :

Ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}2011+y^2=y^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\\2011+z^2=z^2+xy+yz+zx=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\\2011+x^2=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow Q=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(=2\left(xy+yz+zx\right)=2.2011=4022\)

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Violympic toán 9

Kim Trí Ngân

24 tháng 2 2019 lúc 23:44

Giải hệ phương trình: 1. left{{}begin{matrix}x+32sqrt{left(3y-xright)left(y+1right)}sqrt{3y-2}-sqrt{dfrac{x+5}{2}}xy-2y-2end{matrix}right. 2. left{{}begin{matrix}sqrt{2y^2-7y+10-xleft(y+3right)}+sqrt{y+1}x+1sqrt{y+1}+dfrac{3}{x+1}x+2yend{matrix}right. 3. left{{}begin{matrix}sqrt{4x-y}-sqrt{3y-4x}12sqrt{3y-4x}+yleft(5x-yright)xleft(4x+yright)-1end{matrix}right. 4. left{{}begin{matrix}9sqrt{dfrac{41}{2}left(x^2+dfrac{1}{2x+y}right)}3+40xx^2+5xy+6y4y^2+9x+9end{matrix}right. 5. left{{}begin{mat...

Đọc tiếp

Giải hệ phương trình:

1. \(\left\{{}\begin{matrix}x+3=2\sqrt{\left(3y-x\right)\left(y+1\right)}\\\sqrt{3y-2}-\sqrt{\dfrac{x+5}{2}}=xy-2y-2\end{matrix}\right.\)

2. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2y^2-7y+10-x\left(y+3\right)}+\sqrt{y+1}=x+1\\\sqrt{y+1}+\dfrac{3}{x+1}=x+2y\end{matrix}\right.\)

3. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4x-y}-\sqrt{3y-4x}=1\\2\sqrt{3y-4x}+y\left(5x-y\right)=x\left(4x+y\right)-1\end{matrix}\right.\)

4. \(\left\{{}\begin{matrix}9\sqrt{\dfrac{41}{2}\left(x^2+\dfrac{1}{2x+y}\right)}=3+40x\\x^2+5xy+6y=4y^2+9x+9\end{matrix}\right.\)

5. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy+\left(x-y\right)\left(\sqrt{xy}-2\right)}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\\\left(x+1\right)\left[y+\sqrt{xy}+x\left(1-x\right)\right]=4\end{matrix}\right.\)

6. \(\left\{{}\begin{matrix}x^4-x^3+3x^2-4y-1=0\\\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=x+2y\end{matrix}\right.\)

7. \(\left\{{}\begin{matrix}x^3-12z^2+48z-64=0\\y^3-12x^2+48x-64=0\\z^3-12y^2+48y-64=0\end{matrix}\right.\)

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Violympic toán 9

google help

28 tháng 5 2023 lúc 17:24

1)left{{}begin{matrix}2x+dfrac{1}{y}dfrac{3}{x}2y+dfrac{1}{x}dfrac{3}{y}end{matrix}right.2)left{{}begin{matrix}x^33x+8yy^33y+8xend{matrix}right.3)left{{}begin{matrix}x^2+y^2+x-2y2x^2+y^2+2x+2y11end{matrix}right.4)left{{}begin{matrix}x^3-y13x^2-3xy+y^21end{matrix}right.5)left{{}begin{matrix}x^3-y^39left(x-yright)left(x^2+y^2right)15end{matrix}right.

Đọc tiếp

1)\(\left\{{}\begin{matrix}2x+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{x}\\2y+\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{y}\end{matrix}\right.\)

2)\(\left\{{}\begin{matrix}x^3=3x+8y\\y^3=3y+8x\end{matrix}\right.\)

3)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+x-2y=2\\x^2+y^2+2x+2y=11\end{matrix}\right.\)

4)\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-y=1\\3x^2-3xy+y^2=1\end{matrix}\right.\)

5)\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-y^3=9\\\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)=15\end{matrix}\right.\)

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Violympic toán 9

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

12 tháng 6 2018 lúc 20:56

Vòng 1 đến đây là kết thúc ! Cảm ơn các bạn đã tham gia cuộc thi của mình . Sau đây là 31 bạn xuất sắc nhất được chọn vào vòng 2 . 1 . Soyeon_Tiểubàng giải +1 điểm vào vòng 2 2 . Hoàng Thảo Linh + 0,75đ vào vòng 2 3 . Truy Kích + 0,75đ vào vòng 2 4. Shinichi Kudo + 0,75đ vào vòng 2 5 . Nguyễn Xuân Tiến 24 + 0,75đ vào vòng 2 6 . Nhật Minh + 0,75đ vào vòng 2 7 . Phạm Phương Anh + 0,75đ vào vòng 2 8 . Ngô Tấn Đạt + 0,75đ vào vòng 2 9 . Hà Linh + 0,75đ vào vòng 2 10 . Nguyễn Thị...

Đọc tiếp

Vòng 1 đến đây là kết thúc ! Cảm ơn các bạn đã tham gia cuộc thi của mình . Sau đây là 31 bạn xuất sắc nhất được chọn vào vòng 2 .

1 . Soyeon_Tiểubàng giải +1 điểm vào vòng 2

2 . Hoàng Thảo Linh + 0,75đ vào vòng 2

3 . Truy Kích + 0,75đ vào vòng 2

4. Shinichi Kudo + 0,75đ vào vòng 2

5 . Nguyễn Xuân Tiến 24 + 0,75đ vào vòng 2

6 . Nhật Minh + 0,75đ vào vòng 2

7 . Phạm Phương Anh + 0,75đ vào vòng 2

8 . Ngô Tấn Đạt + 0,75đ vào vòng 2

9 . Hà Linh + 0,75đ vào vòng 2

10 . Nguyễn Thị Hồng Nhung + 0,75đ vào vòng 2

11 . Nhã Doanh + 0,75đ vào vòng 2

12 . Aki Tsuki + 0,75đ vào vòng 2

13 . nguyen thi vang + 0,5đ vào vòng 2

14 . kuroba kaito + 0,5đ vào vòng 2

15 . Luân Đào + 0,5đ vào vòng 2

16 . Diệp Băng Dao + 0,5đ vào vòng 2

17 . Nguyễn Công Tỉnh + 0,5đ vào vòng 2

18 . Hiếu Cao Huy + 0,5đ vào vòng 2

19 . Ngô Thanh Sang + 0,5đ vào vòng 2

20 . Dương Nguyễn + 0,5đ vào vòng 2

21 . Phùng Khánh Linh + 0,5đ vào vòng 2

22 . hattori heiji + 0,5đ vào vòng 2

23 . Feed Là Quyền Công Dân + 0,25đ vào vòng 2 .

24 . Phạm Ánh Tuyết + 0,25đ vào vòng 2

25 . Trần Quốc Lộc + 0,25đ vào vòng 2

26 . Cold Wind + 0,25đ vào vòng 2

27 . Mysterious Person + 0,25đ vào vòng 2

28 . Tâm Trần Huy + 0,25đ vào vòng 2

29 . Mến Vũ + 0,25đ vào vòng 2

30 . Kim Tuyến + 0,25đ vào vòng 2

31 . Bastkoo+ 0,25đ vào vòng 2

Cảm ơn những bạn còn lại dù rằng không được vào vòng 2 nhưng các bạn đã cố gắng hết sức và mình còn năm sau nữa nhé ^^ . Nhờ thầy phynit tặng 31 bạn trên mỗi bạn 3GP ạ .

ĐÁP ÁN VÒNG 1 . Cuộc Thi Toán do Dương Phan Khánh Dương tổ chức .

Bài 1 :

a ) ĐKXĐ \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne4\\x\ne9\end{matrix}\right.\)

b )

\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\times\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}\right)}\)

c )

\(P< O\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\sqrt{x}}< 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}-2< 0\) ( Vì \(x>0\) ) \(\Leftrightarrow x< 4\)

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có : \(x\in\left\{1;2;3\right\}\)thì \(P< 0\)

d )

Ta có : \(\dfrac{1}{P}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1+3-2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-4\)

Theo BĐT Cô-Si cho 2 số không âm ta có :

\(\sqrt{x}+1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\ge2\sqrt{\sqrt{x}+1\times\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}}=2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-4\ge2\sqrt{3}-4\) Hay \(\dfrac{1}{P}\ge2\sqrt{3}-4\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=4-2\sqrt{3}\\\sqrt{x}+1=-\sqrt{3}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của \(\dfrac{1}{P}\) là \(2\sqrt{3}-4\) . Dấu \(''="\) xảy ra khi \(x=4-2\sqrt{3}\)

Bài 2 :

a )

\(A=x^2-2xy+y^2+4x-4y+5\)

\(=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+4-9\)

\(=\left(x-y+2\right)^2-3^2\)

\(=\left(x-y-1\right)\left(x-y+5\right)\)

b )

\(P=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)

\(=x^4+x^3+x^3+x^2+x^2+x+x+1\)

\(=x^2\left(x^2+x+1\right)+x\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(=\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]^2\)

Do \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]^2\ge\dfrac{9}{16}\)

Vậy GTNN của P là \(\dfrac{9}{16}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=-\dfrac{1}{2}\)

c )

\(Q=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1\)

\(=x^6+2x^5+x^4+x^4+2x^3+x^2+x^2+x+x+1\)

\(=x^2\left(x^4+2x^3+x^2\right)+\left(x^4+2x^3+x^2\right)+x+2\)

\(=x^2\left(x^2+x\right)^2+\left(x^2+x\right)^2+x+2\)

\(=x^2+x+3=4\)

Bài 3

\(2xy+x+y=83\)

\(\Leftrightarrow4xy+2x+2y=166\)

\(\Leftrightarrow4xy+2x+2y+1=167\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)=167\)

Ta có : \(Ư\left(167\right)=-167;-1;1;167\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x+1=-167\\2y+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-84\\y=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x+1=167\\2y+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=83\\y=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy các cặp x , y gồm : \(\left(x;y\right)=\left(-84;1\right)\) và hoán vị . \(\left(x;y\right)=\left(83;0\right)\) và hoán vị .

b )

Ta có :

\(y^2+2xy-3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=x^2+3x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

VT là một số chính phương . VP là tích 2 số nguyên liên tiếp . Hai vế bằng nhau khi VP phải bằng 0 .

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy ..........................

Bài 4 :

Kẻ \(AK\perp BC\left(K\in BC\right)\)

Gọi H là giao điểm của AK và DE . Theo bài ra ta có :

\(\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow\) \(\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{4}{5}\)

Vì DE//BC nên theo hệ quả của định lý ta-léc độ dài 3 cạnh của tam giác ADE sẽ tương ứng với độ dài 3 cạnh tam giác ABC

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ABC\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AH}{AK}\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}\)

\(\Rightarrow S_{BDEC}=\dfrac{9}{25}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{25}{9}.S_{BDEC}=\dfrac{25}{9}.36=100cm^2\)

Vậy ....................

Bài 5 :

GTNN :

\(B=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\dfrac{3\left(x^2+x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{x^2-x+1+2x^2+4x+2}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\)

Ta có : \(\left(x+1\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\) và \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(MIN_B=\dfrac{1}{3}\) khi \(x=-1\)

+ GTLN

\(B=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\dfrac{3\left(x^2-x+1\right)-2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}=3-\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\)

Do \(\left(x-1\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\) và \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow3-\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\le3\)

Vậy \(MAX_B=3\) khi \(x=1\)

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Violympic toán 9

Bùi Khánh Ly

5 tháng 11 2017 lúc 21:36

Giải hpt:

a, \(\left\{{}\begin{matrix}9y^3\left(3x^3-1\right)=-125\\45x^2y+75x=6y^2\end{matrix}\right.\)

b, \(\left\{{}\begin{matrix}3\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}=2\left(10-xy\right)\\2x+\dfrac{1}{x-y}=5\end{matrix}\right.\)

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Violympic toán 9

Trần Diệp Nhi

18 tháng 1 2019 lúc 19:26

1. Giải các hpt sau: a, left{{}begin{matrix}x-y43x+4y19end{matrix}right. b, left{{}begin{matrix}x-sqrt{3y}sqrt{3}sqrt{3x}+y7end{matrix}right. 2. Giải các hpt sau: a, left{{}begin{matrix}2-left(x-yright)-3left(x+yright)53left(x-yright)+5left(x+yright)-2end{matrix}right. b, left{{}begin{matrix}dfrac{2}{x-2}+dfrac{2}{y-1}2dfrac{2}{x-2}-dfrac{3}{y-1}1end{matrix}right. c, left{{}begin{matrix}x+y24dfrac{x}...

Đọc tiếp

1. Giải các hpt sau:

a, \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=4\\3x+4y=19\end{matrix}\right.\) b, \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{3y}=\sqrt{3}\\\sqrt{3x}+y=7\end{matrix}\right.\)

2. Giải các hpt sau:

a, \(\left\{{}\begin{matrix}2-\left(x-y\right)-3\left(x+y\right)=5\\3\left(x-y\right)+5\left(x+y\right)=-2\end{matrix}\right.\) b, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{2}{y-1}=2\\\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{y-1}=1\end{matrix}\right.\)

c, \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=24\\\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{27}=2\dfrac{8}{9}\end{matrix}\right.\) d, \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}-3\sqrt{y+2}=2\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2=15}\end{matrix}\right.\)

3. Cho hpt \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right)x-y=3\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

a, Giải hpt khi m=\(\sqrt{2}\)

b, tìm giá trị của m để hpt có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x+y>0

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Violympic toán 9

Trần Thu Trang

27 tháng 2 2018 lúc 17:24

giải hệ pt:

(1) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3xy+2y^2=0\\3x+y=6\end{matrix}\right.\)

(2)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-1}{2x+1}-\dfrac{y-2}{y+2}=1\\\dfrac{3x-3}{2x+1}+\dfrac{2y-4}{y+2}=3\end{matrix}\right.\)

(3)\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+y\right)+\sqrt{x+1}=4\\x+y-3\sqrt{x+1}=-5\end{matrix}\right.\)

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Violympic toán 9

Trần Diệp Nhi

17 tháng 1 2019 lúc 19:56

khoanh vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng: 1. Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất 2 ẩn? a, 2x+3y-1 b, 0x+5y2 c, -3x+0y0 d, 2x+sqrt{y}5 2. left{{}begin{matrix}xin Ry-dfrac{1}{2}x+1end{matrix}right.là nghiệm của phương trình: a, 2x+y1 b, x+2y-21 c, x+2y2 d, 2x+y2 3. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hpt left{{}begin{matrix}2x+3y-83x-2y1end{matrix}righ...

Đọc tiếp

khoanh vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng:

1. Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất 2 ẩn?

a, 2x+3y=-1 b, 0x+5y=2 c, -3x+0y=0 d, 2x+\(\sqrt{y}\)=5

2. \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=-\dfrac{1}{2}x+1\end{matrix}\right.\)là nghiệm của phương trình:

a, 2x+y=1 b, x+2y=-21 c, x+2y=2 d, 2x+y=2

3. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hpt \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=-8\\3x-2y=1\end{matrix}\right.\)?

a, (-2;-1) b, (-1;-2) c, (2,-1) d, (1;-2)

4. Cho hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x+ay=1\\bx-y=-a\end{matrix}\right.\). Tìm giá trị của a,b để hpt có nghiệm là (2;1)

a, a=1;b=-1 b, a=-1;b=-1 c, a=1;b=1 d, a=-1; b=1

5. Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng y=x-1 và y= -x+2 là:

a, \(\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) b, \(\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\) c,\(\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) d, \(\left(\dfrac{3}{2};0\right)\)

6. Xác định m để hpt \(\left\{{}\begin{matrix}4x+8y=-9\\\left(m+1\right)x+my=3\end{matrix}\right.\) vô nghiệm.

a, m=\(\dfrac{-8}{3}\) b, m≠\(\dfrac{-8}{3}\) c, m=-2 d, m≠-2

7. Nối mỗi hpt với nghiệm của nó

hệ phương trình	nối	nghiệm
a,\(\left\{{}\begin{matrix}x-5y=-6\\5x-7y=-12\end{matrix}\right.\)		1, (-2;-3)
b,\(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y=-18\\x-7y=19\end{matrix}\right.\)		2, (-2;2)
c,\(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{3}y=-3\\\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}=1\end{matrix}\right.\)		3, (-1;1)
d,\(\left\{{}\begin{matrix}2x-5y=-14\\3x-4y=-14\end{matrix}\right.\)		4, (-1;6)
		5, (-2;-2)