Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tâm Cao

Cho k là một số tự nhiên. Chứng minh rằng:

   \(C_5^0.C_{2011}^k+C_5^1.C_{2011}^{k-1}+...+C_5^5.C_{2011}^{k-5}=C_{2016}^k\)

Akai Haruma
18 tháng 3 2021 lúc 1:17

Lời giải:

Theo nhị thức Newton:

$C^k_{2016}$ chính là hệ số của $x^k$ trong khai triển $(x+1)^{2016}(*)$

Lại có:

$(x+1)^{2016}=(x+1)^5.(x+1)^{2011}$

\(=(\sum \limits_{i=0}^5C^i_5x^i)(\sum \limits_{j=0}^{2011}C^i_{2011}x^j)\)

Hệ số $x^k$ trong khai triển này tương ứng với $0\leq i\leq 5; 0\leq j\leq 2011$ thỏa mãn $i+j=k$

Hay hệ số của $x^k$ trong khai triển $(x+1)^{2016}$ là:

$C^0_5.C^k_{2011}+C^1_5.C^{k-1}_{2011}+C^2_5C^{k-2}_{2011}+C^3_5.C^{k-3}_{2011}+C^4_5.C^{k-4}_{2011}+C^5_5.C^{k-5}_{2011}(**)$

Từ $(*); (**)$ ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Skin Zed
Xem chi tiết
Châu Huỳnh
Xem chi tiết
Vũ Huyền
Xem chi tiết
ĐỖ THỊ THANH HẬU
Xem chi tiết
Chuột yêu Gạo
Xem chi tiết
Tung Dao Manh
Xem chi tiết
Đỗ Thị Ánh Nguyệt
Xem chi tiết
Mai Quynhf Trần
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết