Question

Cho HPT : x+y=2(m-1) và 2x-y=m+8 .Biết hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì giá trị nhỏ nhất của x^2 +y^2 là bao nhiêu ?

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\left(m-1\right)\left(1\right)\\2x-y=m+8\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) ⇒ \(y=2\left(m-1\right)-x\)

Thay vào (2), ta có:

\(2x-2\left(m-1\right)+x=m+8\)

\(\Leftrightarrow3x-2m+2=m+8\\ \Leftrightarrow3x=3m+6\\ \Leftrightarrow x=m+2\)

\(\Rightarrow y=2\left(m-1\right)-\left(m+2\right)\\ \Leftrightarrow y=2m-2-m-2\\ \Leftrightarrow y=m-4\)

Ta có:

 \(x^2+y^2=\left(m+2\right)^2+\left(m-4\right)^2\\ =m^2+4m+4+m^2-8m+16\\ =2m^2-4m+20\\ =2\left(m-1\right)^2+18\)

\(Vì\left(m-1\right)^2\ge0\forall m\in R\\ \Rightarrow2\left(m-1\right)^2+18\ge18\\ \Rightarrow x^2+y^2\ge18\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ \(m=1\)