Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AD lấy điểm M, đường thẳng OM cắt BC tại N.
a/ Chứng minh: DM = BN
b/ Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành
c/ Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = BN. Chứng minh: OE vuông góc với MN
d/ Đường thẳng OE cắt DC tại F. Chứng minh: tứ giác MFNE là hình vuông.
a/Xét tgiac MOD và NOB có : OB=OD, \(\widehat{MOD}=\widehat{NOB},\widehat{MDO}=\widehat{NBO}\left(SLT\right)\)
Suy ra \(\Delta MOD=\Delta NOB\left(g-c-g\right)\left(1\right)\Rightarrow DM=BN\)
b/Từ (1) suy ra OM=ON ta lại có OB=OD nên suy ra BMDN là hbh
c/Xét tgiac AOE và DOM có : AO=OD, AE=MD( MD=BN(1)), \(\widehat{MDO}=\widehat{OAE}=45\)
Suy ra \(\Delta AOE=\Delta DOM\left(c-g-c\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{MOD}=\widehat{AOE}\)
Mà \(\widehat{MOD}+\widehat{AOM}=\widehat{AOD}=90\Rightarrow\widehat{AOE}+\widehat{AOM}=\widehat{MOE}=90\)
Suy ra ĐPCM
d/Có \(\Delta AOE=\Delta COF\) : OA=OC, \(\widehat{AOE}=\widehat{COF},\widehat{OAE}=\widehat{OCF}\left(SLT\right)\)
Suy ra OE=OF
Từ (2) ta cũng có OM=OE và OM=ON (CMT) suy ra
OE=OF=OM=ON suy ra MENF là hcn
Mà EF vuông góc MN nên MENF là h/vuông
