Question

cho hình thoi PQRS. gọi A,B,C,D tương ứng là các trung điểm của các cạnh PQ, QS,RS,SP. chứng minh rằng ABCD là một hình chữ nhật

cho hình vuông ABCD. gọi U, V, T , Z lần lượt là các trung điểm của các cạnh AB,BC,CD, DA. chứng minh rằng UVTZ là một hình vuông

Answer 1

1)Xét tam giác PSQ có PD=DS(gt),PA=AQ(gt)

=>DA là đường trung bình của tam giác PSQ

=>DA//SQ,DA=1/2SQ(1)

Xét tam giác RSQ có RC=CS(gt),RB=BQ(gt)

=>CB là đường trung bình của tam giác RSQ

=>CB//SQ,CB=1/2SQ(2)

Từ (1) và (2)=> DA//CB,DA=CB

=>ABCD là hình bình hành(3)

Xét tam giác SPR coSD=DP(gt),SC=CR(gt)

=>DC là đường trung bình của tam giác SPR

=>DC//PR

Ta có PR vuông góc với SQ(gt)

Mà SQ//DA(cmt)

=>PR vuông góc với DA

Mặt khác DC//PR(cmt)

=>DC vuông góc với DA hay góc ADC=90(4)

Từ (3) và (4)=>ABCD là hình chứ nhật

2)

Xét tam giác BAC có BU=UA(gt), BV=VC(gt)

=>UV là đường trung bình của tam giác BAC

=>UV//AC, UV=1/2AC (1)

Xét tam giác DAC có DZ=ZA(gt),DT=TC(gt)

=>ZT là đường trung bình của tam giác DAC

=>ZT//AC, ZT=1/2AC (2)

Từ (1) và (2) => UV//ZT, UV=ZT

=>UVTZ là hình bình hành(3)

Xét tam giác ABD có AZ=ZD(gt),AU=UB(gt)

=>UZ là đường trung bình của tam giác ABD

=>UZ//BD, UZ=1/2BD

Ta có BD vuông góc với AC(gt)

Mà UV//AC

=>BD vuông góc với UV

Mà UZ//BD(cmt)

=> UZ vuông góc với UV hay góc VUZ=90(4)

Từ (3) và (4)=> UVTZ là hình chữ nhật(5)

Mặt khác UV=1/2AC(cmt), UZ=1/2BD

Mà AC=BD

=>UV=UZ(6)

Từ (5) và (6)=>UVTZ là hình vuông

Nga Phạm