*,Xét hình thang cân ABCD ta có:
\(AD=BC\); \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\)(theo tính chất cảu hình thang cân)
Vì \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\)(cmt) nên tam giác QDC cân.
=> QD=QC(theo tính chất của tam giác cân)(1)
mà \(AD=BC\left(cmt\right)\) nên
\(QD-AD=QC-BC\Rightarrow QA=QB\)(2)
*,\(\Delta ACD=\Delta BDC\)(c.g.c)
(do \(AD=BD\left(cmt\right);\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\left(cmt\right);BC:chung\))
=> \(\widehat{DAC}=\widehat{CBD};\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\) (cặp góc tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat{ADP}=\widehat{BCP}\).
*,\(\Delta APD=\Delta BPC\)(g.c.g)
(do \(\widehat{DAP}=\widehat{CBP}\left(cmt\right);AD=BC\left(cmt\right);\widehat{ADP}=\widehat{BCP}\left(cmt\right)\))
=> \(AP=BP;PD=PC\)(cặp cạnh tương ứng)(3)
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra:
\(QD=QC;QA=QB;AP=BP;PD=PC\)
=> Q và P thuộc trung trực của AB và DC.
(theo tính chất điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng)
mà \(Q\ne P\) nên QP là trung trực của AB và DC.(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
