Question

Cho hình thang cân ABCD, AC // CD và AB < CD (H.3.16).

a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI = ∆IBA.

b) Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC

Answer 1

a) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {AIH}\)(hai góc so le trong).

Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI.

Do đó \(\widehat {AIB} = \widehat {HAI}\) (hai góc so le trong).

Xét ∆AHI và ∆IBA có:

\(\widehat {BAI} = \widehat {AIH}\) (chứng minh trên);

Cạnh AI chung;

 \(\widehat {AIB} = \widehat {HAI}\) (hai góc so le trong).

Do đó ∆AHI = ∆IBA (c.g.c).

Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên \(\widehat C = \widehat D\).

Vì ∆AHD và ∆BIC có:

\(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {BIC} = {90^o}\) và \(\widehat C = \widehat D\) nên \(90^o - \widehat C = 90^o - \widehat {BIC} \Leftrightarrow \widehat {DAH} = \widehat {CBI}\) 

Xét ∆AHD và ∆BIC có:

\(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {BIC} = {90^o}\) (vì AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD);

\(AH = BI\) (chứng minh trên

\(\widehat {DAH} = \widehat {CBI}\) (chứng minh trên).

Do đó ∆AHD = ∆BIC (góc - cạnh - góc).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).