Question

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).

a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

b) Tinh thể tích của khối lăng trụ.

Answer 1

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AI \bot BC\)

Tam giác \(A'BC\) cân tại \(A' \Rightarrow A'I \bot BC\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'I,AI} \right) = \widehat {AI{\rm{A}}'} = {60^ \circ }\)

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AA' = AI.\tan \widehat {AI{\rm{A}}'} = \frac{{3a}}{2}\)

b) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)