Bài tập cuối chương 3

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Buddy

Cho hình hình hành \(ABCD\) có \(AD = 2AB\). Từ \(C\) vẽ \(CE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\). Nối \(E\) với trung điểm \(M\) của \(AD\). Từ \(M\) vẽ \(MF\) vuông góc với \(CE\) tại \(F\), \(MF\) cắt \(BC\) tại \(N\).

a) Tứ giác \(MNCD\) là hình gì?

b) Chứng minh tam giác \(EMC\) cân tại \(M\)

c) Chứng minh rằng \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)

Hướng dẫn:

a) Chứng minh \(EN = NC = NB = \) \(\frac{1}{2}\) \(BC\)

b) Chứng minh \(\widehat {AEM} = \widehat {EMN} = \widehat {NMC} = \widehat {MCD} = \frac{1}{2}\widehat {NCD}\)

 

Hà Quang Minh
8 tháng 9 2023 lúc 22:25

a) Ta có:

\(MN \bot CE\) (gt)

\(AB \bot CE\) (gt)

Suy ra \(MN\) // \(AB\)

\(MN\)Mà \(AB\) // \(CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) nên \(MN\)

 // \(CD\)

Xét tứ giác \(MNCD\) ta có:

\(MN\) // \(CD\) (cmt)

\(MD\) // \(CN\) (do \(AD\) // \(BC\))

Suy ra \(MNCD\) là hình bình hành

Lại có:

 \(AD = 2AB\) (gt);    

\(AD = 2MD\) (do \(M\) là trung điểm của \(AD\))

\(AB = CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(MD = CD\)

Hình bình hành \(MNCD\) có \(MD = CD\) (cmt) nên là hình thoi

b) Vì \(MNCD\) là hình thoi nên \(MD = CD = NC = MN = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC\) (do \(AD = BD\))

Do \(NC = \frac{1}{2}BC\) nên \(N\) là trung điểm của \(BC\)

Xét \(\Delta EBC\) vuông tại \(E\) có \(EN\) là trung tuyến nên \(EN = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra \(EN = NB = NC = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra \(\Delta NEC\) cân tại \(N\)

Mà \(NF\) là đường cao (do \(MF \bot EC\))

Suy ra \(NF\) cũng là trung tuyến, phân giác, trung trực của \(\Delta NEC\)

Suy ra \(F\) là trung điểm \(EC\)

Xét \(\Delta MEC\) có \(MF\) là đường cao đồng thời là trung tuyến

Suy ra \(\Delta EMC\) cân tại \(M\)

c) Vì \(AB\) // \(MN\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {{\rm{AEN}}} = \widehat {{\rm{EMN}}}\) (so le trong)

Mà \(\widehat {{\rm{EMN}}} = \widehat {{\rm{NMC}}}\) (do \(MF\) là phân giác)

\(\widehat {{\rm{NMC}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\) (do \(MN\) // \(CD\))

Suy ra \(\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\)

Mà \(\widehat {{\rm{MCD}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BCD}}}\) (do \(MNCD\) là hình thoi)

Và \(\widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{BAD}}}\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(\widehat {{\rm{AEM}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\)

Suy ra \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)


Các câu hỏi tương tự
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết