Question

Cho hình chữ nhật có AB > BC. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD.

a) Chứng minh AD² = DH.DB

b) Chứng minh tam giác AHD đồng dạng với tam giác ABC

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DH và BC. Chứng minh học MAD bằng góc NAC.

d) Tính số đo góc AMN

Answer 1

Hình vẽ:

Answer 2

Hình vẽ:

Answer 3

Lời giải:

a) Xét tam giác $ADH$ và $BDA$ có:

$\widehat{AHD}=\widehat{BAD}=90^0$

$\widehat{D}$ chung

$\Rightarrow \triangle ADH\sim \triangle BDA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{DH}{DA}\Rightarrow DA^2=BD.DH$ (đpcm)

b) Xét tam giác $AHD$ và $ABC$ có:

$\widehat{AHD}=\widehat{ABC}=90^0$

$\widehat{ADH}=\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$ (tính chất hcn)

$\Rightarrow \triangle AHD\sim \triangle ABC$ (g.g)

c) 

Xét tam giác $MAD$ và $NAC$ có:

$\widehat{ADM}=\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=\widehat{ACN}$

$\frac{AD}{AC}=\frac{HD}{BC}=\frac{HD:2}{BC:2}=\frac{MD}{NC}$ (do tam giác đồng dạng phần b)

$\Rightarrow \triangle MAD\sim \triangle NAC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{MAD}=\widehat{NAC}$

d)

Tam giác đồng dạng phần b cho ta $\widehat{DAH}=\widehat{CAB}$

Tam giác đồng dạng phần c cho ta $\widehat{DAM}=\widehat{CAN}$ 

$\Rightarrow \widehat{DAH}-\widehat{DAM}=\widehat{CAB}-\widehat{CAN}$

hay $\widehat{MAH}=\widehat{NAB}$

$\Rightarrow \widehat{MAN}=\widehat{HAB}$ 

Xét tam giác $AHB$ và $AMN$ có:

$\widehat{HAB}=\widehat{MAN}$

$\frac{AM}{AN}=\frac{AD}{AC}=\frac{AD}{BD}=\frac{AH}{AB}$ (từ tam giác đồng dạng phần c và a)

$\Rightarrow \triangle AHB\sim \triangle AMN$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AHB}=90^0$