Cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đc thẳng vuông góc với AC cắt AC tại H và cắt CD tại M. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại K và cắt AB tại N. Gọi O là trung điểm của HK
1) Chứng minh:
a) BMDN là hình bình hành
b) M, N, O thẳng hàng
2) CHo AD = 6 cm, AC = 10cm, tia phân giác của \(\widehat{ADC}\) cắt BH tại E
a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD và diện tích tứ giác BHDK
b) tính độ dài BE
Câu 1:
a) Ta có: ND⊥AC(do DK⊥AC,N∈DK)
BM⊥AC(do BH⊥AC,M∈BH)
Do đó: ND//BM(định lí 1 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
Ta có: AB//CD(do AB và CD là hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)
mà N∈AB(gt)
và M∈CD(gt)
nên NB//DM
Xét tứ giác NBMD có ND//MB(cmt) và NB//DM(cmt)
nên NBMD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b)
Ta có: ND//BM(cmt)
mà K∈ND
và H∈BM
nên KN//MH
Xét ΔKON và ΔMOH có
\(\widehat{KON}=\widehat{MOH}\)(hai góc đối đỉnh)
KO=OH(do O là trung điểm của KH)
\(\widehat{NKO}=\widehat{OHM}\)(so le trong,KN//MH)
Do đó: ΔKON=ΔMOH(g-c-g)
⇒KN=MH(hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác KNHM có KN//MH(cmt) và KN=MH(cmt)
nên KNHM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒hai đường chéo KH và NM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)
mà O là trung điểm của đường chéo KH(gt)
nên O là trung điểm của đường chéo NM
⇒O∈NM
hay M,O,N thẳng hàng(đpcm)
Câu 2:
a)
Áp dụng định lí pytago vào ΔADC vuông tại D, ta được
\(AC^2=AD^2+DC^2\)
hay \(10^2=6^2+DC^2\)
\(\Rightarrow DC^2=10^2-6^2=100-36=64\)
hay \(DC=\sqrt{64}=8cm\)
Ta có: \(S_{ABCD}=AD\cdot DC=6\cdot8=48cm^2\)
Vậy: \(S_{ABCD}=48cm^2\)
