a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC, AD // BC
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\) (So le trong)
Xét hai tam giác vuông IDA và HBC có:
AD = BC (cmt)
\(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\) (cmt)
Do đó: \(\Delta IDA=\Delta HBC\) (ch-gn)
\(\Rightarrow ID=HB\)
Tứ giác IBHD có ID = HB và ID // HB (cùng vuông góc với AC)
nên là hình bình hành.
Mặt khác, trong hình bình hành IBHD có O là trung điểm của IH nên O là tâm của hình bình hành IBHD. Do đó đường chéo BD đi qua O và OD = OB (IBHD là hình bình hành) hay B đối xứng với D qua O.
b) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BH.
Trong \(\Delta HAB\) có: M trung điểm AH, E trung điểm BH nên ME là đường trung bình của \(\Delta HAB.\)
\(\Rightarrow ME//AB,ME=\dfrac{1}{2}AB\)
Mà KC // AB (CD//AB), \(KC=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}AB\) nên ME // KC, ME = KC.
Do đó tứ giác MECK là hình bình hành, suy ra MK // EC.
Ta có: ME // AB, \(AB\perp BC\) \(\Rightarrow ME\perp BC\)
Xét tam giác BMC có \(BH\perp MC,ME\perp BC\) nên E là trực tâm của tam giác BMC, suy ra \(EC\perp MB\).
Mặt khác EC // MK nên \(MK\perp MB.\)
