Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi \(B_1\); \(C_1\); \(D_1\) là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng \(B_1D_1\) // BD và SC ⊥ (A\(B_1D_1\))
b) Chứng minh rằng các điểm A, \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) đồng phẳng và tứ giác
A\(B_1C_1D_1\) nội tiếp đường tròn.
c) Cho SA\(=a\sqrt{2}\). Tính góc giữa hai đường thẳng SB và A\(C_1\).
a.
\(\Delta_VSAB=\Delta_VSAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow AB_1=AD_1\)
\(\Rightarrow SB_1=SD_1\Rightarrow\dfrac{SB_1}{SB}=\dfrac{SD_1}{SD}\)
\(\Rightarrow B_1D_1||BD\) (Talet đảo)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AB_1\)
\(\Rightarrow AB_1\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AB_1\perp SC\)
Hoàn toàn tương tự: \(AD_1\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AD_1\perp SC\)
\(\Rightarrow SC\perp\left(AB_1D_1\right)\)
b.
\(\left\{{}\begin{matrix}SC\perp AC_1\\SC\perp\left(AB_1D_1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AC_1\in\left(AB_1D_1\right)\)
\(\Rightarrow\) 4 điểm \(A;B_1;C_1;D_1\) đồng phẳng
Theo chứng minh câu a, \(AB_1\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AB_1\perp B_1C_1\) (1)
\(AD_1\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AD_1\perp\left(D_1C_1\right)\)
\(\Rightarrow B_1;D_1\) cùng nhìn \(AC_1\) dưới 1 góc vuông nên tứ giác \(AB_1C_1D_1\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AC_1\)
c.
Gọi E là trung điểm BC
\(\Rightarrow C_1E\) là đường trung bình tam giác SBC
\(\Rightarrow C_1E||SB\Rightarrow\widehat{SB;AC_1}=\widehat{\left(C_1E;AC_1\right)}=\widehat{AC_1E}\)
\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{3}\)
\(C_1E=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{AB^2+\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(\dfrac{1}{AC_1^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Rightarrow AC_1=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=a\)
Áp dụng định lý hàm cos cho tam giác \(AEC_1\):
\(cos\widehat{AC_1E}=\dfrac{AC_1^2+C_1E^2-AE^2}{2AC_1.C_1E}=0\Rightarrow\widehat{AC_1E}=90^0\)
