Question

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\widehat {BSA} = \widehat {CSA} = {60^ \circ },\) \(\widehat {BSC} = {90^ \circ }\). Cho \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC\). Chứng minh rằng \(IJ \bot SA\) và \(IJ \bot BC\).

Answer 1

 

\(\Delta SAB,\Delta SAC\) đều \( \Rightarrow AB = {\rm{A}}C = a\)

\(BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)

\(AJ\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow AJ = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Delta SBC\) vuông cân tại \(S\) có \(SJ\) là trung tuyến

\( \Rightarrow SJ = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(IJ\) là trung tuyến của tam giác \(SAJ\)\( \Rightarrow IJ = \frac{{\sqrt {2\left( {A{J^2} + S{J^2}} \right) - S{A^2}} }}{2} = \frac{a}{2}\)

\(AI = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2};BJ = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác \(AIJ\) có: \(A{I^2} + I{J^2} = A{J^2}\)

\( \Rightarrow \Delta AIJ\) vuông tại \(I\)\( \Rightarrow AI \bot IJ \Rightarrow SA \bot IJ\)

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow BI = \sqrt {A{B^2} - A{I^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác \(BIJ\) có: \(B{J^2} + I{J^2} = B{I^2}\)

\( \Rightarrow \Delta BIJ\) vuông tại \(J\)\( \Rightarrow BJ \bot IJ \Rightarrow BC \bot IJ\)