a/ Dễ quá nên khỏi cần vẽ vào hình, sợ rối hình câu b
Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow BC\perp\left(SAH\right)\)
Từ A kẻ \(AK\perp SH\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
\(AH=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=...\)
b/
Từ M kẻ \(MP//AB\Rightarrow MP\perp\left(SAC\right)\Rightarrow MP\perp AN\)
Có \(\left\{{}\begin{matrix}AN\perp CM\\AN\perp MP\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AN\perp\left(CMP\right)\Rightarrow AN\perp CP\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}MN//BC\\MP//AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(MNP\right)//\left(ABC\right)\Rightarrow NP//AC\)
\(\Rightarrow\frac{MS}{MB}=\frac{NS}{NC}=\frac{SP}{AP}\)
Xét tam giác vuông PAN và ACP có:
\(\widehat{A}=\widehat{P}=90^0\)
\(\widehat{PAN}=\widehat{PCA}\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
\(\Rightarrow\Delta PAN\sim\Delta ACP\left(g-g\right)\) \(\Rightarrow\frac{NP}{AP}=\frac{AP}{AC}\Rightarrow NP.AC=AP^2\)
\(\Rightarrow\frac{NP}{AC}=\left(\frac{AP}{AC}\right)^2=\left(\frac{SA-SP}{AC}\right)^2=\left(1-\frac{SP}{AC}\right)^2\)
Mặt khác theo Talet: \(\frac{NP}{AC}=\frac{SP}{SA}\Rightarrow\frac{SP}{SA}=\left(1-\frac{SP}{SA}\right)^2\)
Đặt \(\frac{SP}{SA}=x\left(0< x< 1\right)\Rightarrow x=\left(1-x\right)^2\Rightarrow x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{SP}{AP}=\frac{x}{1-x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
