a, Vì tứ giác ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{O là trung điểm của AC}\\\text{O là trung điểm của BD}\end{matrix}\right.\)
Vì O là trung điểm của BD
⇒ OB = OD = \(\dfrac{1}{2}\)BD (1)
Vì M là trung điểm của OD
⇒ MD = OM = \(\dfrac{1}{2}\)OD (2)
Vì N là trung điểm của OB
⇒ NB = ON = \(\dfrac{1}{2}\)OB (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ OM = ON
⇒ O là trung điểm của MN
Tứ giác AMCN có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Đường chéo AC, MN}\\\text{O là trung điểm của AC}\\\text{O là trung điểm của MN}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành (đpcm)
b, Vì tứ giác AMCN là hình bình hành
⇒ AM // CN
⇒ AE // CF
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒ AB // CD
⇒ AF // CE
Tứ giác AECF có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AE // CF }\\\text{AF // CE}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác AECF là hình bình hành (đpcm)
c, Vì tứ giác AECF là hình bình hành
mà \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Đường chéo AC, EF}\\\text{ O là trung điểm của AC}\end{matrix}\right.\)
⇒ O là trung điểm của EF
⇒ E và F đối xứng với nhau qua O (đpcm)
d, Từ O kẻ OH // NC
Vì AE // CF
⇒ ME // NC
⇒ Tứ giác MECN là hình thang
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{OH // NC}\\\text{ME // NC}\end{matrix}\right.\)
⇒ OH // ME // NC
Xét hình thang MECN có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{OH // ME // NC}\\\text{O là trung điểm của MN}\end{matrix}\right.\)
⇒ H là trung điểm của EC
⇒ EH = HC = \(\dfrac{1}{2}\)EC
Xét ΔDOH có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{OH // ME}\\\text{M là trung điểm của OD}\end{matrix}\right.\)
⇒ E là trung điểm của DH
⇒ DE = EH = \(\dfrac{1}{2}DH\)
Như vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\text{EH = HC = }\dfrac{1}{2}\text{EC }\\\text{DE = EH = }\dfrac{1}{2}\text{DH}\end{matrix}\right.\)
⇒ DE = \(\dfrac{1}{2}\)EC
⇒ EC = 2DE (đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!!
