Question

Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm F. Tia AF cắt BD và DC lần lượt ở E và G. Chứng minh :

a) Tam giác BEF đồng dạng với tam giác DEA và tam giác DGE đồng dạng với tam giác BAE

b)AE² =EF . EG

c) BF . DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC

Answer 1

a) Xét tam giác BEF và tam giác DEA có:

góc BEF = góc AED (đối đỉnh);

góc ADE = góc EBF (ở vị trí so le trong của AD song song với BC "ABCD là hình bình hành")

=> tam giác BEF đồng dạng với tam giác DEA (g-g)

Xét tam giác DGE và tam giác BAE có:

góc DEG = góc AEB (đối đỉnh);

góc EDG = góc ABE (vị trí so le trong của AB song song với CD "ABCD là hình binh hành")

=> tam giác DGE đồng dạng với tam giác BAE (g-g)

Answer 2

b) tam giác BEF đồng dạng với tam giác DEA

=> \(\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{EF}{EA}\left(1\right)\)

Tam giác BAE đồng dạng với tam giác DGE

=> \(\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{AE}{GE}\left(2\right)\)

Từ (1)(2) => \(\dfrac{EF}{EA}=\dfrac{AE}{GE}\Leftrightarrow EF.EG=AE^2\)

Answer 3

c) tam giác BEF đồng dạng với tam giác DEA

=> \(\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{BF}{DA}\left(3\right)\)

Tam giác BAE đồng dạng với tam giác DGE

=> \(\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{BA}{DG}\left(4\right)\)

Từ (3)(4) => \(\dfrac{BF}{AD}=\dfrac{BA}{DG}\Leftrightarrow BF.DG=BA.AD\)

Mà AB và AD là 2 cạnh của hình bình hành ABCD nên \(AB.AD\) không đổi

=> \(BF.DG\) không đổi khi F di chuyển trên BC