Question

cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng: 

a) EMFN là hình bình hành 

b) Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy

*sử dụng dấu hiệu 3*

 

Answer 1

a)
=> AB = DC => 1/2.AB = 1/2.DC = > AE=EB=CF=FD

xét tứ giác AECF có 

AE = CF và AE // CF ( AB // CD )

=> Tứ giác AECF là HBH =>  MF // EN hay AF // EC ( M thuộc AF , N thuộc EC)
xét tứ giác EBFD có

EB = DF và EB // DF (AB // CD)

=> tứ giác EBFD là HBH => ME // FN hay DE // FB ( M thuộc DE, N thuộc FB)

Xét tứ giác EMFN có : MF // EN ME // FN

     =) tứ giác EMFN là HBH

b)

Xét tứ giác AECF có AE = CF và // CF

=> tứ giác AECF là HBH

=> AC và EF là 2 đường chéo cắt nhau (1)
Tương tự : EF vầ BD là 2 đường chét cắt nhau (2)

mà ABCD là HBH => AC và DB là 2 đường chéo cắt nhau (3)