a, Vì tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AD // BC}\\\text{AD = BC}\end{matrix}\right.\)
Vì AD // BC
⇒ ED // BF
Vì AD = BC ⇒ \(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{2}\)BC
Vì E là trung điểm của AD
⇒ AE = ED = \(\dfrac{1}{2}\)AD
Vì F là trung điểm của BC
⇒ BF = FC = \(\dfrac{1}{2}\)BC
Như vậy
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\text{AD}=\dfrac{1}{2}\text{BC}\\\text{AE = ED =}\dfrac{1}{2}\text{AD }\\\text{BF = FC =}\dfrac{1}{2}\text{BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ AE = ED = BF = FC
Tứ giác BEDF có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{ED // BF}\\\text{ED = BF}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác BEDF là hình bình hành
⇒ EB // DF
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{EP // DQ}\\\text{PB // QF}\end{matrix}\right.\)
Xét ΔADQ có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{EP // DQ}\\\text{E là trung điểm của AD}\end{matrix}\right.\)
⇒ P là trung điểm của AQ
⇒ AP = PQ (1)
Xét ΔBCP có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{PB // QF}\\\text{F là trung điểm của BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ Q là trung điểm của PC
⇒ PQ = QC (2)
Từ (1), (2) ⇒ AP = PQ = QC (đpcm)
b, Xét ΔPBC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Q là trung điểm của PC}\\\text{R là trung điểm của PB}\end{matrix}\right.\)
⇒ RQ là đường trung bình của ΔPBC
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{RQ // BC}\\\text{RQ}=\dfrac{1}{2}\text{BC}\end{matrix}\right.\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{RQ // BC}\\\text{AD // BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ RQ // AD
⇒ RQ // AE
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{RQ}=\dfrac{1}{2}\text{BC}\\\text{AD = BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ RQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD
Như vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\text{RQ =}\dfrac{1}{2}\text{AD}\\\text{AE =}\dfrac{1}{2}\text{AD}\end{matrix}\right.\)
⇒ RQ = AE
Tứ giác ARQE có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{RQ // AE }\\\text{RQ = AE }\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác ARQE là hình bình hành (đpcm)
Chúc bạn học tốt Toán nhé!!!!@@@@
