Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của OD, OB. AM cắt DC tại E, CN cắt AB tại F. Chứng minh: a) AMCN là hình bình hành
b) E đối xứng với F qua O
c) DE=\(\dfrac{1}{2}\)EC
d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì AMCN là hình chữ nhật
e) Các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy
Tự vẽ hình
a) Ta có:
+ M là trung điểm của OD (gt)
=> MD = MO = OD/2
+ N là trung điểm của OB (gt)
=> ON = NB = OB/2
Mà OB = OD ( do hình bình hành ABCD )
Nên MD = MO = ON = NB
=> MO = ON (1)
Ta lại có:
AO = OC ( do hình bình hành ABCD ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Tứ giác AMCN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành (Đpcm)
b) Vì AMCN là hình bình hành ( câu a )
Nên NC // AM
=> FC // AE
Mà AF // EC ( vì AB // CD, F thuộc AB và E thuộc CD )
=> AFCE là hình bình hành
Mà O là trung điểm của AC
=> O là trung điểm của EF
Vậy E đối xứng với F qua O (Đpcm)
c) Xét tam giác DNC, ta có:
NC // ME
=> \(\dfrac{DE}{EC}=\dfrac{DM}{MN}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}EC\left(Đpcm\right)\)
d) Để hình bình hành AMCN là hình chữ nhật thì MN = AC
Mà MN = BD/2 nên AC = BD/2
Vậy hình bình hành ABCD cần điều kiện AC = BD/2 thì AMCN là hình chữ nhật
e) Vì O là trung điểm của AC
Nên AC đi qua O (1)
Vì O là trung điểm của BD
Nên BD đi qua O (2)
Vì O là trung điểm của EF
Nên EF đi qua O (3)
Từ (1), (2),(3) suy ra: AC,BD,EF đồng quy tại O
