Question

Cho hình bình hành ABCD (AB>AD, góc A>90 độ) . Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho góc DBC = góc CBE. Đường thẳng BE cắt đường thẳng AD tại M. Đường thẳng CM cắt AB tại F, BD tại K . Chứng minh rằng a, CK^2=KF.KM b, 1/CK=1/CF+1/CM c, BF/FA=BE/BD

help me thanks

Answer 1

a.- Xét △KDC có:

DC//BF (ABCD là hình bình hành).

=>\(\dfrac{CK}{KF}=\dfrac{DK}{BK}\) (định lí Ta-let). (1)

- Xét △KDM có:

MD//BD (ABCD là hình bình hành).

=>\(\dfrac{DK}{BK}=\dfrac{MK}{CK}\) (định lí Ta-let). (2)

- Từ (1) và (2) suy ra:

\(\dfrac{CK}{KF}=\dfrac{KM}{CK}\). Vậy \(CK^2=KM.KF\)

b. - Xét △KDC có:

DC//BF (ABCD là hình bình hành).

=> \(\dfrac{DK}{BK}=\dfrac{CK}{CF}\) (định lí Ta-let). (3)

- Xét △KDM có:

MD//BD (ABCD là hình bình hành).

=>\(\dfrac{DK}{BK}=\dfrac{MK}{CM}\) (định lí Ta-let). (4)

- Từ (3) và (4) suy ra:  \(\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{MK}{CM}\)

=>\(\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{MK}{CM}=\dfrac{CK+MK}{CF+CM}\) (t/c tỉ lệ thức).

=>\(\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{CM}{CF+CM}\)

=>\(CK=\dfrac{CM.CF}{CF+CM}\)
=>\(\dfrac{1}{CK}=\dfrac{CF+CM}{CM.CF}\)

=>\(\dfrac{1}{CK}=\dfrac{1}{CF}+\dfrac{1}{CM}\)

Answer 2

c.

Do \(\widehat{DBC}=\widehat{CBE}\Rightarrow BC\) là phân giác trong góc \(\widehat{DBE}\) trong tam giác BDE

Theo định lý phân giác: \(\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{CE}{CD}\) (1)

Trong tam giác MCD, do \(AF||CD\) nên theo định lý Talet:  \(\dfrac{AF}{CD}=\dfrac{MF}{MC}\)

Trong tam giác MCE, do \(BF||CE\) nên theo định lý Talet: \(\dfrac{BF}{CE}=\dfrac{MF}{MC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AF}{CD}=\dfrac{BF}{CE}\Rightarrow\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{BF}{AF}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\dfrac{BF}{AF}=\dfrac{BE}{BD}\) (đpcm)

Answer 3

d.

Do \(BI\perp BC\), mà BC là đường phân giác trong nên BC là phân giác ngoài góc \(\widehat{DBE}\) của tam giác BDE

Theo định lý phân giác: \(\dfrac{IE}{ID}=\dfrac{BE}{BD}\)

Theo câu c ta có \(\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{CE}{CD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{IE}{ID}=\dfrac{CE}{CD}\Rightarrow IE.CD=ID.CE\)