Question

Cho hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|+x+\left|y\right|+y=2016\\\left|x\right|-x+\left|y\right|-y=k\end{matrix}\right.\)

vs k là 1 số cho trước. Biết rằng hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt (x;y) = (a;b) và (x;y) = (c;d)

Tính tổng a + b + c + d

Answer 1

Lần lượt cộng và trừ pt trên cho dưới ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|+\left|y\right|=1008+\dfrac{k}{2}\\x+y=1008-\dfrac{k}{2}\end{matrix}\right.\)

Nếu x, y cùng dấu \(\Rightarrow\) hệ luôn có vô số nghiệm \(\Rightarrow\) không t/m

\(\Rightarrow\) x, y trái dấu

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1008+\dfrac{k}{2}\\x+y=1008-\dfrac{k}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1008\\y=\dfrac{-k}{2}\end{matrix}\right.\) \(\left(k\ge0\right)\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\y\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x+y=1008+\dfrac{k}{2}\\x+y=1008-\dfrac{k}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-k}{2}\\y=1008\end{matrix}\right.\) \(\left(k\ge0\right)\)

Vậy \(a+b+c+d=2016-k\)