Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(2x+m-\left(x+\frac{3}{x}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x(m-1)-3=0\)
Để hai đths cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì pt trên phải có hai nghiệm phân biệt.
\(\Rightarrow \Delta=(m-1)^2+3>0\) (luôn đúng với mọi m)
Khi đó, gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của pt thì theo hệ thức Viete:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=1-m\\ x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
Hai giao điểm là \(M(x_1,2x_1+m); N(x_2,2x_2+m)\)
\(MN=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(2x_1+m-2x_2-m)^2}=\sqrt{5(x_1-x_2)^2}\)
Có \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(m-1)^2+12\geq 12\)
\(\Rightarrow MN\geq \sqrt{60}\) hay \(MN_{\min}=\sqrt{60}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(m=1\)
