Question

cho hàm số y=cosx+msinx+1/cosx+2 (1). xác định m để GTLN của hàm số (1) trên tập R bằng 1

Answer 1

\(y=\frac{cosx+m.sinx+1}{cosx+2}\Leftrightarrow y.cosx+2y=cosx+m.sinx+1\)

\(\Leftrightarrow m.sinx+\left(1-y\right)cosx=2y-1\)

Áp dụng điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất (hoặc BĐT Bunhiacopxki):

\(m^2+\left(1-y\right)^2\ge\left(2y-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3y^2-2y\le m^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(y-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{3}\le m^2\Leftrightarrow\left(y-\frac{1}{3}\right)^2\le\frac{3m^2+1}{9}\)

\(\Rightarrow y\le\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{3m^2+1}{9}}\Rightarrow\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{3m^2+1}{9}}=1\)

\(\Rightarrow3m^2=3\Rightarrow m=\pm1\)