Question

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\left[0;1\right]\) thỏa mãn: \(3f\left(x\right)+xf'\left(x\right)=x^{2018}\). Tính \(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\).

A. \(I=\frac{1}{2018.2021}\)

B. \(I=\frac{1}{2019.2020}\)

C. \(I=\frac{1}{2019.2021}\)

D. \(I=\frac{1}{2018.2019}\)

Answer 1

\(3f\left(x\right)+x.f'\left(x\right)=x^{2018}\Leftrightarrow3x^2.f\left(x\right)+x^3.f'\left(x\right)=x^{2020}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3.f\left(x\right)\right)'=x^{2020}\)

\(\Leftrightarrow x^3f\left(x\right)=\frac{1}{2021}x^{2021}+C\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^{2018}}{2021}+\frac{C}{x^3}\)

Do \(f\left(x\right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)\) xác định tại \(x=0\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^{2018}}{2021}\)

Lấy tích phân 2 vế:

\(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\frac{x^{2018}}{2021}dx=\frac{1}{2019.2021}\)